Как решать задачи с кругами эйлера по информатике: Презентация по информатике на тему «Решение задач с помощью кругов Эйлера» (7 класс)

Содержание

Задача 17 — разбор задания ЕГЭ по предмету Информатика

Решение №1

Для решения данной задачи полезно воспользоваться визуализацией в виде кругов Эйлера. Разберём эту визуализацию подробнее.

У нас имеются три разных слова в запросах:

  1. Гомер
  2. Илиада
  3. Одиссея

Обозначим страницы, в которых встречаются эти слова, за круги. При этом сделаем так, чтобы эти круги пересекались.

Что нам известно по условию согласно таблице?

  1. Гомер & Илиада = 200. Что это означает?
  2. Что количество страниц, где встречаются одновременно слова и Гомер, и Илиада («и», так как используется &), равно 200.
  3. Что на рисунке соответствует таким страницам?
  4. Им соответствует область, которая лежит и в Гомере, и в Илиаде (см. светло-зелёную область).

 

 

  1. Теперь по аналогии отметим красным область Гомер & Одиссея: 
  2. Теперь давайте разберём строку Гомер & (Одиссея | Илиада). Это пересечение двух областей, одна из которых понятна (Гомер). Давайте разберёмся со второй: Одиссея | Илиада.
  3. Одиссея | Илиада — это Одиссея или Илиада. То есть, это страницы, на которых есть или Одиссея, или Илиада, или обе.  То есть, это — объединение Одиссеи и Илиады.
  4. Это объединение пересекается с Гомером в общих областях (см. картинку, розовый цвет).
  5. Что нам надо сосчитать? — Гомер & Одиссея & Илиада. То есть, пересечение всех трёх областей (маленький «псевдотреугольник» в центре).
  6. Давайте посмотрим внимательно, как мы его можем посчитать.
  7. Если мы в уме сложим области «Гомер & Одиссея» (бордовый) и «Гомер & Илиада» (зелёный), то получится, что мы охватили все пересечения (розовый), но при этом маленький треугольник мы посчитали два раза.
  8. То есть, если из суммы бордового и зелёного отнять розовый, получится как раз один маленький треугольничек (так как все области кроме него сократятся).
  9. Значит, Гомер & Одиссея & Илиада = 355 + 200 — 470 = 85

Ответ: 65 тысяч страниц.

Презентация к уроку «Решение задач ЕГЭ с помощью кругов Эйлера-Венна»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

http://anisimovaiv.edusite.ru/p32aa1.html

Номер слайда 2

Номер слайда 3

Тема: Решение задач с помощью кругов Эйлера-Венна Цель: Научиться использовать круги Эйлера-Венна при решении задач

Номер слайда 4

Учить всему надо легко, доступно и наглядно. Леонард Эйлер

Номер слайда 5

Задача №17(ЕГЭ). Запросы для поисковых систем с использованием логических выражений Два поля Три поля с пустым пересечением Три поля Более трёх полей

Номер слайда 6

Экзамен Репетитор 1 2 3 формула включений и исключений NA & B = NA + NB – NA | B Решение: 2=500+370-750=120 Два поля

Номер слайда 7

формула включений и исключений NA & B = NA + NB – NA | B NA = NA & B + NA | B – NB Торты=6500+12000-7700=10800

Номер слайда 8

Вопрос: Как понять пересекаются поля или нет? Три поля с пустым пересечением

Номер слайда 9

Три поля с пустым пересечением Демоверсия ЕГЭ-2020

Номер слайда 10

ПШЕНИЦА ПОЛЕ НАПРЯЖЕННОСТЬ Дано: N1+N2=40 (1) N2+N3+N4=54 (2) N4+N5=44 (3) N2=30 N4=14 N1+N2+N3+N4+N5=? Решение: из (2) N3=54-30-14=10 Напряженность | Поле | Пшеница = N1+N2+N3+N4+N5=40+10+44=94 1 2 3 4 5

Номер слайда 11

Вопрос: Как понять что поля не пересекаются? Ответ: Если в результате конъюнкции двух полей получается 0, эти поля не пересекаются Три поля с пустым пересечением

Номер слайда 12

Три поля с пустым пересечением Открытый банк заданий ЕГЭ-2019 (fipi. ru)

Номер слайда 13

ГОРЛО НОС КОРАБЛЬ Дано: N1+N2=35 (1) N4+N5=30 (2) N2+N3+N4=40 (3) N1+N2+N3+N4+N5=70 (4) N2=10 (5) N4=? Решение: N1+N2+N3+N4+N5=70 N3=70-35-30=5 Из (3) находим N4=40-10-5=25 n 4 2 1 3 5

Номер слайда 14

Номер слайда 15

Варианты логических выражений (три поля с пересечением)

Номер слайда 16

Три поля с пересечением Дано: N5=50 (1) N2+N5=150 (2) N4+N5=130 (3) N2+N3+N4+N5+N6+N7=660 (4) N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7=900 (5) N1+N2+N4+N5=? Решение: N1=900-660=240 N2=150-50=100 N4=130-50=80 Ночь=N1+N2+N4+N5=240+100+80+50=470

Номер слайда 17

1 1 1 2 3 4 5 6 7 Дано: N5+N6=165 N4+N5=125 N5=80 N4+N5+N6=? Решение: N4=125-80=45 N6=165-80=85 N4+N5+N6=45+80+85=210 Фотон Протон Бозон

Номер слайда 18

Стр. 184 № 5, 6, 7

Что такое круги эйлера в информатике. Презнтаця по математике на тему «круги эйлера

Каждый предмет или явление обладает некими свойствами (признаками).

Получается, что составить понятие об объекте означает, прежде всего, умение отличить его от других сходных с ним объектов.

Можно сказать, что понятие — это мысленное содержание слова.

Понятие —
это форма мысли, отображающая предметы в их наиболее общих и существенных признаках.

Понятие — это форма мысли, а не форма слова, так как слово лишь метка, которой мы помечаем ту или иную мысль.

Слова могут быть различны, но при этом обозначать одно и то же понятие. По-русски — «карандаш», по-английски — «pencil», по-немецки — bleistift. Одна и та же мысль в разных языках имеет разное словесное выражение.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.

Понятия, имеющие в своих содержаниях общие признаки, называются СРАВНИМЫМИ
(«адвокат» и «депутат»; «студент» и «спортсмен»).

В противном случае, понятия считаются НЕСРАВНИМЫМИ
(«крокодил» и «блокнот»; «человек» и «пароход»).

Если кроме общих признаков понятия имеют и общие элементы объёма, то они называются СОВМЕСТИМЫМИ
.

Существует шесть видов отношений между сравнимыми понятиями. Отношения между объёмами понятий удобно обозначать с помощью кругов Эйлера (круговые схемы, где каждый круг обозначает объём понятия).

ВИД ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ ИЗОБРАЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА
РАВНОЗНАЧНОСТЬ (ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ) Объёмы понятий полностью совпадают. Т.е. это понятия, которые различаются по содержанию, но в них мыслятся одни и те же элементы объёма. 1) А — Аристотель В — основатель логики 2) А — квадрат В — равносторонний прямоугольник
ПОДЧИНЕНИЕ (СУБОРДИНАЦИЯ) Объём одного понятия полностью входит в объём другого, но не исчерпывает его. 1) А — человек В — студент 2) А — животное В — слон
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (ПЕРЕКРЕЩИВАНИЕ) Объёмы двух понятий частично совпадают. То есть понятия содержат общие элементы, но и включают элементы, принадлежащие только одному из них. 1) А — юрист В — депутат 2) А — студент В — спортсмен
СОПОДЧИНЕНИЕ (КООРДИНАЦИЯ) Понятия, не имеющие общих элементов, полностью входят в объём третьего, более широкого понятия. 1) А — животное В — кот; С — собака; D — мышь 2) А — драгоценный металл В — золото; С — серебро; D — платина
ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (КОНТРАРНОСТЬ) Понятия А и В не просто включены в объём третьего понятия, а как бы находятся на его противоположных полюсах. То есть, понятие А имеет в своём содержании такой признак, которых в понятии В заменён на противополжный. 1) А — белый кот; В — рыжий кот (коты бывают и чёрными и серыми) 2) А — горячий чай; холодный чай (чай может быть и тёплым) Т.е. понятия А и В не исчерпывают всего объёма понятия, в которое они входят.
ПРОТИВОРЕЧИЕ (КОНТРАДИКТОРНОСТЬ) Отношение между понятиями, одно из которых выражает наличие каких-либо признаков, а другое — их отсутствие, то есть просто отрицает эти признаки, не заменяя их никакими другими. 1) А — высокий дом В — невысокий дом 2) А — выигрышный билет В — невыигрышный билет Т.е. понятия А и не-А исчерпывают весь объём понятия, в которое они входят, так как между ними нельзя поставить никакое дополнительное понятие.

Упражнение
:
Определите вид отношений по объёму приведённых ниже понятий. Изобразите их с помощью кругов Эйлера .

1) А — горячий чай; В — холодный чай; С — чай с лимоном

Горячий чай (В) и холодный чай (С) — находятся в отношении противоположности.

Чай с лимоном (С) может быть как горячим,

так и холодным, но может быть и, например, тёплым.

2) А
— деревянный; В
— каменный; С
— строение; D
— дом.

Всякое ли строение (С) — дом (D)? — Нет.

Всякий ли дом (D) — строение (С)? — Да.

Что-то деревянное (А) обязательно ли дом (D) или строение (С) — Нет.

Но можно найти деревянное строение (например, будка),

также можно найти деревянный дом.

Что-то каменное (В) не обязательно дом (D) или строение (С).

Но может быть и каменное строение, и каменный дом.

3) А
— российский город; В
— столица России;

С
— Москва; D
— город на Волге; Е
— Углич.

Столица России (В) и Москва (С) — один и тот же город.

Углич (Е) является городом на Волге (D).

При этом, Москва, Углич, как и любой город на Волге,

являются российскими городами (А)

Если Вы считаете, что ничего не знаете о таком понятии, как круги Эйлера, то вы глубоко заблуждаетесь. Еще из младшей школы известны схематические изображения, или кружки, позволяющие наглядно осмыслить взаимоотношения между понятиями и элементами системы.

Метод, придуманный Леонардом Эйлером, использовался ученым для решения сложных математических задач. Кругами он изображал множества и сделал эту схему основой такого понятия, как символическая . Метод призван максимально упростить рассуждения, направленные на решении той или иной задачи, именно поэтому методика активно используется как в младшей школе, так и в академической среде. Интересно, что подобный подход был ранее использован немецким философом Лейбницем, а позже был подхвачен и применен в различных модификациях известными умами в области математики. Например, прямоугольные схемы чешского Больцано, Шредера, Венна, известного созданием популярной диаграммы, основанной на этом простом, но удивительно действенном методе.

Круги являются основой так называемых «наглядных интернет мемов», которые основаны на схожести признаков отдельных множеств. Забавно, наглядно, а главное понятно.

Круги мысли

Круги позволяют наглядно описать условия задачи и мгновенно принять верное решение, или выявить направление движение в сторону правильного ответа. Как правило, круги Эйлера используются для решения логико-математических задач, связанных с множествами, их объединениями или частичными наложениями. В пересечение кругов попадают объекты, обладающие свойствами каждого из изображенных кружком множеств. Объекты, не вошедшие в множество, находятся за пределами того или иного круга. Если понятия абсолютно равнозначны, они обозначаются одним кругом, представляющим собой объединение двух множеств, имеющих равные свойства и объемы.

Логика взаимосвязей

Используя круги Эйлера, вы можете решить ряд бытовых задач и даже определиться с выбором будущей профессии, стоит лишь проанализировать свои возможности и желания и выбрать их максимальное пересечение.

Теперь становится ясно, что круги Эйлера вовсе не абстрактное математическое и философское понятие из разряда теоретических знаний, они имеют весьма прикладное и практическое значение, позволяя разобраться не только с простейшими математическими проблемами, но и решить важные жизненные дилеммы наглядным и понятным каждому способом.

При решении многих задач, связанных с множествами, незаменимым оказывается приём, основанный на использовании так называемых «кругов Эйлера». Эти диаграммы впервые появились в работах одного из величайших математиков в истории Леонарда Эйлера, который в течение продолжительного времени жил и работал в России и был членом Петербургской академии наук. Использование кругов Эйлера добавляет наглядности при решении сложных задач, делая многие вещи буквально очевидными. Предлагаю вам в этом убедиться самостоятельно на примере решения следующей задачи.

Пример решения задачи с помощью кругов Эйлера

Тут нужно понимать, что если сказано, что «42 человека используют метро», то это вовсе не означает, что кроме метро они не используют никаких других видов транспорта. Кто-нибудь из них может быть и использует. Может быть ещё какой-то один вид транспорта, трамвай или автобус. А может и сразу оба! Вопрос задачи как раз и состоит в том, чтобы посчитать людей, которые используют все три вида транспорта.

С первого взгляда даже непонятно, с чего начинать решение. Но если немного поразмыслить, становится ясно, что действовать нужно по следующему алгоритму. Будем стараться расписать всех людей (58 человек) через известные из условия данные. Нам известно, что автобус используют 44 человека. Прибавим к этому количество людей, которые используют метро. Их всего 42 человек. С помощью кругов Эйлера эту операцию можно изобразить наглядно в следующем виде:

То есть пока что мы имеем дело с выражением 58 = 44 + 42… Знак «…» означает, что выражение ещё не закончено. Проблема в том, что мы посчитали людей на пересечении этих кругов дважды. Соответствующая область на диаграмме выделена тёмно-зелёным цветом. Поэтому один раз их нужно вычесть. Это люди, которые пользуются автобусом и метро. Их, как известно, 31. То есть наше «неоконченное» выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31… И на диаграмме при этом пропадает тёмно-зелёный цвет:

Пока всё хорошо. Прибавляем теперь людей, которые ездят на трамвае. Таких людей 32. Выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31 + 32… Диаграмма с кругами Эйлера, в свою очередь, становится следующей:

К счастью в незакрашенной области как раз и находятся те люди, число которых нам нужно посчитать. Действительно, эти бедняги используют ежедневно все три вида транспорта для того, чтобы добраться до работы, ведь они находятся на пересечении всех трёх множеств. Обозначим количество этих бедолаг за . Тогда диаграмма примет следующий вид:

А уравнение станет следующим:

Расчёты дают . Это и есть ответ к задаче. Столько людей используют все три вида транспорта каждый день, чтобы добраться на работу.

Вот такое вот простое решение. Фактически, в одно уравнение. Просто удивительно, не правда ли?! А теперь представьте, как пришлось бы решать эту задачу без использования кругов Эйлера. Это было бы настоящее мучение. Так что в очередной раз убеждаемся, что любые методы визуализации чрезвычайно полезны при решении задач по математике. Используйте их, это поможет вам в решении сложных задач как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах по математике в лицеи и вузы.

Чтобы проверить, хорошо ли вы поняли решение данной задачи, ответьте на следующие вопросы:

  1. Сколько человек используют только один вид транспорта для того, чтобы добраться до работы?
  2. Сколько человек используют для этого ровно два вида транспорта?

Свои ответы и варианты решения присылайте в комментариях.

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка не раз с ними сталкивались, просто не знали, как это называется. Где именно? Схемы в виде кругов Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (растиражированных в сети изображений на определенную тему).

Давайте вместе разберемся, что же это за круги, почему они так называются и почему ими так удобно пользоваться для решения многих задач.

Происхождение термина

– это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Пока не очень понятно, верно? Посмотрите на этот рисунок:

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.

Ну что, так стало понятнее? Именно поэтому круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.

Автор метода — ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он так и говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эйлер считается немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской академии наук и внес существенный вклад в развитие российской науки.

До него подобным принципом при построении своих умозаключений руководствовался немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц.

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Свою лепту внес также немецкий математике Эрнест Шредер. Но главные заслуги принадлежат англичанину Джону Венну. Он был специалистом в логике и издал книгу «Символическая логика», в которой подробно изложил свой вариант метода (использовал преимущественно изображения пересечений множеств).

Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна.

Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале статьи.

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера:

Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Давайте рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.

Вот на этом сайте — http://logika.vobrazovanie. ru/index.php?link=kr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и несложные задачи, для решения которых потребуется метод Эйлера. Используя логику и математику, разберем одну из них.

Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:

Выходит, что:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:

мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

А еще давайте рассмотрим задачу
, которая в 2011 году была вынесена на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ (источник — http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Условия задачи:

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор 7000
Крейсер 4800
Линкор 4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор
?

Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

  1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
  2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
  3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Крейсер & Линкор
(обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

Как видите, круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Заключение

Полагаю, нам удалось убедить вас, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьный уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.

Вам еще наверняка будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера нашли отражение не только в виде мемов, но и в популярных сериалах. Таких, как «Теория большого взрыва» и «4исла».

Используйте это полезный и наглядный метод для решения задач. И обязательно расскажите о нем друзьям и одноклассникам. Для этого под статьей есть специальные кнопки.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Круги Эйлера — ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКЕ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ — Каталог статей

1.В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют иг­рать
ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 — в шахматы.
Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?

2.  Каждый из 35 пятиклассников является читателем по
крайней мере одной из двух библиотек: школьной и рай­онной. Из них 25 учащихся
берут книги в школьной биб­лиотеке, 20 — в районной. Сколько из пятиклассников:

а) не являются читателями школьной библиотеки;

б) не являются читателями районной библиотеки;

в) являются читателями только школьной библиотеки;

г) являются читателями только районной библиотеки;

д) являются читателями обеих библиотек?

3.  В одном множестве 40 элементов, а в другом 30. Сколь­ко
элементов может быть в их:

а)   пересечении;

б) объединении?

4.  Каждый ученик в классе изучает либо английский, либо
французский язык, либо оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек,
французский — 27 человек, а тот и другой —18 человек. Сколько всего учеников в
классе?

5.  На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2
и квад­рат площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квад­рата равна
30 см2. Не занятая кругом и квадратом часть листа имеет площадь 150
см2. Найдите площадь листа.

6.  В бригаде полеводов 25 человек. Среди них 20 человек
моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть?

7.  В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит либо
пирожное, либо мороженое, либо и то, и другое. Поло­вина детей любит пирожное,
а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?

8.    
Сколько в классе
учащихся, если известно, что лыж­ным спортом увлекаются 28 человек, отличников
в классе — 12, причем отличников-спортсменов, увлека­ющихся лыжами, — 10?

    9. 37 школьников
из ученической производственной брига­ды изъявили желание летом работать на
уборке зерновых. Каждый из них имеет права для работы на тракторе или на
комбайне, а некоторые могут работать и на тракторе, и на комбайне. Сколько
школьников могут работать и на тракторе, и на комбайне, если известно, что
трактором хо­рошо овладели 23 человека, а комбайном — 31 человек?

       
В ученической
производственной бригаде 86 старшеклас­сников. 8 из них не умеют работать ни на
тракторе, ни на комбайне. 54 ученика хорошо овладели трактором, 62 — комбайном.
Сколько человек из этой бригады мо­гут работать и на тракторе, и на комбайне?

       
В классе 35
учеников, каждый из которых любит фут­бол, волейбол или баскетбол, а некоторые
— два или даже три из этих видов спорта. 24 ученика любят фут­бол, 18 —
волейбол, 12 — баскетбол. При этом 10 уче­ников одновременно любят футбол и
волейбол, 8 — футбол и баскетбол, а 5 — волейбол и баскетбол. Сколь­ко учеников
этого класса любят все три вида спорта?

       
В классе 36
учеников. Многие из них посещают круж­ки: физический (14 человек),
математический (18 чело­век), химический (10 человек). Кроме того, известно,
что 2 человека посещают все три кружка; из тех, кто по­сещает два кружка, 8
человек занимаются в математи­ческом и физическом кружках, 5 — в математическом
и химическом, 3 — в физическом и химическом. Сколь­ко человек не посещают
никаких кружков?

   10. Сто шестиклассников нашей школы участвовали в опро­се, в ходе которого
выяснялось, какие компьютерные игры им нравятся больше: симуляторы, квесты или
стратегии. В результате 20 опрошенных назвали симуляторы, 28 — квесты, 12 —
стратегии. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение
симуляторам и квестам, 6 учеников — симуляторам и стратегиям, 4 ученика —
квестам и стратегиям, а 9 ребят совершенно равнодушны к названным компьютерным
играм. Некоторые из школь­ников ответили, что одинаково увлекаются и симуляторами,
и квестами, и стратегиями. Сколько таких ребят?

Конспект занятия «Решение логических задач с помощью кругов Эйлера» 6 класс

Тема: Решение логических задач с помощью кругов Эйлера.

Цели: 1. Рассмотрим новый тип задач;

2. Круги Эйлера, историческая справка;

3. Повторим операции над множествами;

4. Исследовать задачи по теме: «на какой вопрос можно

ответить по этим данным?»

5. Показать практическое применение, решить проблему:

«Возможно или нет?».

Ход занятия.

1. Решить задачу: «Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а

16 и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекцио-

нированием. Сколько школьников не увлекаются коллекцио-

нированием?».

а) Можно ли решить задачу традиционными способами?

б) Эта задача на операции над множествами.

в) Историческая справка. На экране фотография Леонарда Эйлера. Учитель

кратко излагает его биографию .

г) Повторение операций над множествами: а) АUВ; б) А∩В; в) АכВ; г)А\D.

д) Изобразим множества из задачи. (На доске учащиеся рисуют два круга,

имеющих общую часть. На них записывают данные.)

е) решаем задачу. Какие различные выражения можно составить для решения

задачи?

1) 52-23-(35-16)

2) 52-35-(23-16) 10 учеников

3) 52-(23-16)-(35-16)

2. Изобразить на кругах Эйлера ситуацию, придумать вопросы и

ответить

на них.

а) В понедельник в магазине 12 человек купили только телефоны, 4 человека

только автоответчики, а 5 человек – телефон с автоответчиком.

1) Сколько купили телефон?

2) Сколько купили автоответчик?

3) Сколько было покупателей?

б) все 10 человек, которые во вторник купили телефон, купили и

Использование метода кругов Эйлера (диаграмм Эйлера–Венна) при решении задач в курсе информатики и ИКТ. Круги эйлера на примере решения задачи

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.

Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение.

Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Убедились, что в обоих случаях получаем равные множества. Следовательно, исходное соотношение справедливо.

Леонард Эйлер –
величайший из математиков,написал более 850 научных работ.
В одной из них и появились эти круги.

Учёный писал, что
«они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Круги Эйлера
– это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Задача 1

Из 90 туристов, отправляющихся в путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28 чел, французским – 42 чел.
Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 чел, немецким и французским – 5 чел, всеми тремя языками – 3 чел. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

Покажем условие задачи графически – с помощью трёх кругов

Ответ:

10 человек.

Задача 2

Многие ребята нашего класса любят футбол, баскетбол и волейбол. А некоторые — даже два или три из этих видов спорта. Известно, что 6 человек из класса играют только в волейбол, 2 – только в футбол, 5 – только в баскетбол. Только в волейбол и футбол умеют играть 3 человека, в футбол и баскетбол – 4, в волейбол и баскетбол – 2. Один человек из класса умеет играть во все игры, 7 не умеют играть ни в одну игру. Требуется найти:

Сколько всего человек в классе?

Сколько человек умеют играть в футбол?

Сколько человек умеют играть в волейбол?

Задача 3

В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Задача 4

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Задача 5

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задачи для решения учащимися

1.
В классе 35 учеников. Все они являются читателями школьной и район­ной библиотек. Из них 25 берут книги в школьной библиотеке, 20 — в рай­онной.


Сколько из них:

а) не являются читателями школь­ной библиотеки;

б) не являются читателями район­ной библиотеки;

в) являются читателями только школьной библиотеки;

г) являются читателями только рай­онной библиотеки;

д) являются читателями обеих библиотек?

2.Каждый ученик в классе изучает английский или немецкий язык, или оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, немецкий — 27 человек, а тот и другой — 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

3.На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и квадрат площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 см2. Не занятая кру­гом и квадратом часть листа имеет пло­щадь 150 см2. Найдите площадь листа.

4. В группе туристов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть? Если может, то в каком случае?

5. В детском саду 52 ребенка. Каж­дый из них любит пирожное или моро­женое, или то и другое. Половина де­тей любит пирожное, а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько де­тей любит мороженое?

6. В классе 36 человек. Ученики это­го класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок по­сещают 18 человек, физический — 14, химический — 10. Кроме того, извест­но, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек -.и математиче­ский, и физический, 5 — и математи­ческий, и химический, 3 — и физи­ческий, и химический кружки. Сколько учеников класса не посещают ни­какие кружки?

7. После каникул классный руково­дитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побы­вали 25 человек; в театре — 11; в цир­ке — 17; и в кино, и в театре — 6; и в кино, и в цирке — 10; и в театре, и в цирке — 4. Сколько человек побы­вали в театре, кино и цирке одновре­менно?

Решение задач ЕГЭ с помощью кругов Эйлера

Задача 1

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Крейсер & Линкор
?
Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор 7000
Крейсер 4800
Линкор 4500

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

  1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
  2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
  3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Крейсер & Линкор
(обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ:
2300 — количество страниц, найденных по запросу
Крейсер & Линкор.

Задача 2

В языке запросов поискового сервера для обозначения

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос
Найдено страниц (в тысячах)
Торты | Пироги
12000
Торты & Пироги
6500
Пироги
7700

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Торты
?

Решение

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

А
,
Б
,
В
).

Из условия задачи следует:

Торты
│Пироги
=
А
+
Б
+
В
= 12000

Торты & Пироги =
Б
= 6500

Пироги =
Б
+
В
= 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты =
А
+
Б
), надо найти сектор
А
Торты│Пироги
) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги
– Пироги =
А
+
Б
+
В
-(Б
+
В
) =
А
= 1200 – 7700 = 4300

Сектор
А
равен 4300, следовательно

Торты =
А
+
Б
= 4300+6500 =
10800

Задача 3

|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Пироженое & Выпечка

5100

Пироженое

9700

Пироженое | Выпечка

14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуВыпечка
?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение

Для решения задачи отобразим множества
Пироженых
и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А
,
Б
,
В
).

Из условия задачи следует:

Пироженое
& Выпечка =
Б
= 5100

Пироженое
=
А
+
Б
= 9700

Пироженое
│ Выпечка =
А
+
Б
+
В
= 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка =
Б
+
В
), надо найти сектор
В
, для этого из общего множества (Пироженое
│ Выпечка) отнимем множество
Пироженое
.

Пироженое
│ Выпечка –
Пироженное
=
А
+
Б
+
В
-(А
+
Б
) =
В
= 14200–9700 = 4500

Сектор
В
равен 4500, следовательноВыпечка =
Б
+
В
= 4500+5100 =
9600

Задача 4


убывания

Для обозначения
логической операции «ИЛИ» используется символ »
|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (

А
,
Б
,
В
,
Г
).

с
паниели │(терьеры & овчарки) =
Г
+
Б

с
паниели│овчарки
=
Г
+
Б
+
В

спаниели│терьеры│овчарки
=
А
+
Б
+
В
+
Г

терьеры & овчарки =
Б

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц:
3 2 1 4

Задача 5

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания
количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения
логической операции «ИЛИ» используется символ »
|», а для логической операции «И» — символ «&».

1

барокко | классицизм | ампир

2

барокко | (классицизм & ампир)

3

классицизм & ампир

4

барокко | классицизм

Решение

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А
,
Б
,
В
,
Г
).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│
классицизм
│ампир
=
А
+
Б
+
В
+
Г

барокко │(классицизм & ампир) =
Г
+
Б

классицизм
&
ампир =
Б

барокко│

классицизм =
Г
+
Б
+
А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц:
3 2 4 1

Задача 6


В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания
количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения
логической операции «ИЛИ» используется символ »
|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
канарейки | щеглы | содержание


2
канарейки & содержание
3
канарейки & щеглы & содержание
4
разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —
канарейки,

Щ – щеглы,

Р – разведение.

канарейки | терьеры | содержание

канарейки & содержание

канарейки & щеглы & содержание

разведение & содержание & канарейки & щеглы

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.

Задача 7 (ЕГЭ 2013)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос

Найдено страниц
(в тысячах)

Фрегат | Эсминец

3400

Фрегат & Эсминец

900
Фрегат

2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец
?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Задача №1:
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное
путешествие, немецким языком владеют 30 человек,
английским – 28, французским – 42. Английским и немецким
одновременно владеют 8 человек, английским и
французским ­10 , немецким и французским – 5, всеми тремя
языками – 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Решение:
Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто
знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и
третьим кругом – тех, кто знают немецкий.
французский
немецкий
английский

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в

общей части кругов вписываем число 3.
французский
немецкий
5
3
7
английский
Английским и французским
языками владеют 10 человек, а 3
из них владеют ещё и немецким.
Значит, английским и
французским владеют 10­3=7
человек.
В общую часть английского и
цифру 7.
Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из
них владеют ещё и французским. Значит, английским и
немецким владеют 8­3=5 человек.
В общую часть английского и немецкого кругов
вписываем число 5.

французский

немецкий
20
5
2
3
7
30
13
английский
Немецким и французским
языками владеют 5 человек, а
3 из них владеют ещё и
английским. Значит,
немецким и французским
владеют 5­3=2 человека.
В общую часть немецкого и
французского кругов вписываем
цифру 2.
Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из
них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают
20 человек.
Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и
другими языками, значит, только английский знают 13 человек.
Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют
и другими языками, значит, только французский знают 30 человек.
По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13
+5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык,
следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком.
Ответ:
20 человек.

Рисунки, подобные тем, что мы

рисовали при решении этой задачи,
называются «кругами Эйлера». Один из
величайших математиков Петербургской
академии Леонард Эйлер написал более
850 научных работ. В одной из них и
появились эти круги. Эйлер писал тогда,
что «они очень подходят для того, чтобы
облегчить наши размышления». Наряду с
кругами в подобных задачах применяют
прямоугольники и другие фигуры.

Задача №2:

В ясельной группе 11 деток любят манную кашу, 13 –
гречневую и 7 малышей – перловую. Четверо любят и
манную, и гречневую, 3 – манную и перловую, 6­ гречневую и
перловую, а двое с удовольствием «уплетают» все три вида
каши. Сколько детей в этой группе, если в ней нет ни одного
ребёнка, вовсе не любящего кашу?
Решение:
манная
перловая
11 6
0
31
4 2
2
13
7
64
5
гречнева
я
Ответ:
6+1+2+2+0+4+5=20 ребят

Задача №3:

В одной семье было много детей. 7 из них любили капусту,
6 – морковь, 5 – горох, 4 – капусту и морковь, 3 – капусту и
горох, 2 – морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь, и горох.
Сколько детей было в семье?
Решение:
капуста
7
морковь
1
43
32
1
5 1
горох
21
6
1
Ответ: 10 человек.

Задача №4:

В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей
классической музыки, 15­джаза, 14 – народной музыки.
Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов,
народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9.
Пятеро студентов слушают всякую музыку, а остальные не
любят никакой музыки. Сколько их?
Решение:
джаз
15 7
6 1
7 2
5
14
4
классическая
музыка
9 4
14 3
народная
музыка
Ответ:
29­7­2­1­5­3­4­4=3(человека)
– не любят никакую музыку.

Задача №5:

Учащиеся 5 и 6 классов отправились на экскурсию.
Мальчиков было 16, учащихся 6 класса – 24, пятиклассниц
столько, сколько мальчиков из 6 класса. Сколько всего детей
побывали на экскурсии?
Решение:
16
мальчики
5 класс
мальчики
6 класс
девочки
5 класс
девочки
6 класс
24
Ответ: 40 человек.

10.

Задача №6:
На полу комнаты площадью 24 м² лежат три ковра. Площадь
одного из них ­10 м², другого – 8 м², третьего – 6 м². Каждые
два ковра перекрываются по площади 3 м², а площадь
участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1
м². Найдите площадь участка пола:
а)покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого
третьим ковром;
б)покрытого только первым ковром;
в)не покрытого коврами.
Решение:
Ответ:
а) 10м²;
б)5 м²;
в) 24­10­5­1=8 м²
1
2
10
5
32
32
3
1
6
8
3 2
1
3

11.

Задача №7
1. Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и
83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого,
ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?
Решение:
немецкий
французский
75
х
100­10=90
83
Получим уравнение: 75+83­х=90
158­х=90
х=68
Ответ:
68 человек знали оба языка

12.

1. Из 40 опрошенных человек 32
любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и
молоко, и лимонад. Сколько человек
не любят ни молоко, ни лимонад?
Ответ: 2 человека

13.

Задача для самостоятельного решения:
2. В воскресенье 19 учеников нашего
класса побывали в планетарии, 10 – в
цирке и 6 – в музее. Планетарий и цирк
посетили 5 учеников; планетарий и музей –
трое, в цирке и музее был один человек.
Сколько учеников в нашем классе, если
никто не успел посетить все три места, а
трое вообще никуда не ходили?
Ответ: 20 человек

14.

Задача для самостоятельного решения:
3. В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из
них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют
в хоре, 22 увлекаются спортом. В
драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6
спортсменов, в драмкружке 8
спортсменов, а 3 спортсмена посещают и
драмкружок, и хор. Сколько ребят не
поют в хоре, не увлекаются спортом и не
занимаются в драмкружке? Сколько
ребят заняты спортом?
Ответ: 10 ребят, 11 спортсменов.

15.

Задача для самостоятельного решения:
4.Из сотрудников фирмы 16
побывали во Франции, 10 – в
Италии, 6 – в Англии. В Англии и
Италии – пятеро, в Англии и
Франции – 6, во всех трёх странах
– 5 сотрудников. Сколько человек
посетили и Италию, и Францию,
если всего в фирме работает 19
человек, и каждый их них
побывал хотя бы в одной из
названных стран?
Ответ: 7 сотрудников

16.

с

Ч
е
р
т
с

И
х
м
ы
ы
в
н
о
ь
н

Л
о
е
т
Д
а
м
и
и
м
н
а
а
ч
з
а
д

1. Введение

В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей
школы рассматриваются такие важные темы как
“Основы логики” и “Поиск информации в
Интернет”. При решении определенного типа задач
удобно использовать круги Эйлера (диаграммы
Эйлера-Венна).


Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна
используются прежде всего в теории множеств как
схематичное изображение всех возможных
пересечений нескольких множеств. В общем случае
они изображают все 2 n комбинаций n свойств.
Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно
изображается в виде трех кругов с центрами в
вершинах равностороннего треугольника и
одинаковым радиусом, приблизительно равным
длине стороны треугольника.

2. Представление логических связок в поисковых
запросах

При изучении темы “Поиск информации в
Интернет” рассматриваются примеры поисковых
запросов с использованием логических связок,
аналогичным по смыслу союзам “и”, “или”
русского языка. Смысл логических связок
становится более понятным, если
проиллюстрировать их с помощью графической
схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).

Логическая связка
Пример запроса
Пояснение
Круги Эйлера
&
— “И”
Париж &
университет
Будут отобраны все страницы, где
упоминаются оба слова: Париж и университет
Рис.1
|
— “ИЛИ”
Париж |
университет
Будут отобраны все страницы, где
упоминаются слова Париж и/или университет
Рис.2

3. Связь логических операций с теорией множеств

С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно
представить связь логических операций с теорией
множеств. Для демонстрации можно
воспользоваться слайдами в Приложение
1.

Логические операции задаются своими таблицами
истинности. В Приложении 2

подробно рассматриваются графические
иллюстрации логических операций вместе с их
таблицами истинности. Поясним принцип
построения диаграммы в общем случае. На
диаграмме – область круга с именем А отображает
истинность высказывания А (в теории множеств
круг А – обозначение всех элементов, входящих в
данное множество). Соответственно, область вне
круга отображает значение “ложь”
соответствующего высказывания. Что бы понять
какая область диаграммы будет отображением
логической операции нужно заштриховать только
те области, в которых значения логической
операции на наборах A и B равны “истина”.

Например, значение импликации равно “истина”
в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем
последовательно: 1) область вне двух
пересекающихся кругов, которая соответствует
значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к
кругу В (полумесяц), которая соответствует
значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу
А и к кругу В (пересечение) – соответствует
значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей
и будет графическим представлением логической
операции импликации.

4. Использование кругов Эйлера при
доказательстве логических равенств (законов)

Для того, чтобы доказать логические равенства
можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна.
Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон
де Моргана).

Для наглядного представления левой части
равенства выполним последовательно:
заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым
цветом, затем для отображения инверсии
заштрихуем область за пределами кругов черным
цветом:

Рис.3 Рис.4

Для визуального представления правой части
равенства выполним последовательно:
заштрихуем область для отображения инверсии (¬А)
серым цветом и аналогично область ¬В также серым
цветом; затем для отображения конъюнкции нужно
взять пересечение этих серых областей (результат
наложения представлен черным цветом):

Рис.5 Рис.6 Рис.7

Видим, что области для отображения левой и
правой части равны. Что и требовалось доказать.

5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск
информации в Интернет”

Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.

В таблице приведены запросы к поисковому
серверу. Для каждого запроса указан его код –
соответствующая буква от А до Г. Расположите коды
запросов слева направо в порядке убывания
количества
страниц, которые найдет поисковый сервер по
каждому запросу.

Код
Запрос
А (Муха & Денежка) | Самовар
Б Муха & Денежка & Базар & Самовар
В Муха | Денежка | Самовар
Г Муха & Денежка & Самовар

Для каждого запроса построим диаграмму
Эйлера-Венна:

Запрос А
Запрос Б

Запрос В

Запрос Г

Ответ: ВАГБ.

Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.

В таблице приведены запросы и количество
найденных по ним страниц некоторого сегмента
сети Интернет.

Запрос
Найдено страниц (в тысяч)
Фрегат | Эсминец
3400
Фрегат & Эсминец
900
Фрегат
2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет
найдено по запросу Эсминец
?

Считается, что все запросы выполнялись
практически одновременно, так что набор страниц,
содержащих все искомые слова, не изменялся за
время выполнения запросов.

Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат
;

Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец
;

Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в
котором упоминается Фрегат
и не
упоминается
Эсминец
;

У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в
котором упоминается Эсминец
и не

упоминается Фрегат.

Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого
запроса:

Запрос
Диаграмма Эйлера-Венна
Количество страниц
Фрегат | Эсминец
Рис.12

3400
Фрегат & Эсминец
Рис.13

900
Фрегат
Рис.14 2100
Эсминец
Рис.15 ?

Согласно диаграммам имеем:

  1. Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400. Отсюда находим У = 3400-2100 = 1300.
  2. Э = 900+У = 900+1300= 2200.

Ответ: 2200.

6.
Решение логических содержательных
задач методом диаграмм Эйлера-Венна

В классе 36 человек. Ученики этого класса
посещают математический, физический и
химический кружки, причем математический кружок
посещают 18 человек, физический — 14 человек,
химический — 10. Кроме того, известно, что 2
человека посещают все три кружка, 8 человек — и
математический и физический, 5 и математический и
химический, 3 — и физический и химический.

Сколько учеников класса не посещают никаких
кружков?

Для решения данной задачи очень удобным и
наглядным является использование кругов Эйлера.

Самый большой круг – множество всех учеников
класса. Внутри круга три пересекающихся
множества: членов математического (М
),
физического (Ф
), химического (Х
) кружков.

Пусть МФХ
– множество ребят, каждый из
которых посещает все три кружка. МФ¬Х

множество ребят, каждый из которых посещает
математический и физический кружки и не

посещает химический. ¬М¬ФХ
— множество ребят,
каждый из которых посещает химический кружок и
не посещает физический и математический кружки.

Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ,
М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Известно, что все три кружка посещают 2
человека, следовательно, в область МФХ
впишем
число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и
физический кружки и среди них уже есть 2 человека,
посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х
впишем
6 человек (8-2). Аналогично определим количество
учащихся в остальных множествах:

Просуммируем количество человек по всем
областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из
класса посещают кружки.

Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.

После зимних каникул классный руководитель
спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк.
Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были
ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало
25 человек, в театре — 11, в цирке 17 человек; и в кино,
и в театре — 6; и в кино и в цирке — 10; и в театре и в
цирке — 4.

Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и
в цирке?

Пусть х – количество ребят, которые побывали и
в кино, и в театре, и в цирке.

Тогда можно построить следующую диаграмму и
посчитать количество ребят в каждой области:

В кино и театре побывало 6 чел., значит,
только в кино и театре (6-х) чел.

Аналогично,
только в кино и цирке (10-х) чел.

Только в театре и цирке (4-х) чел.

В кино побывало 25 чел., значит, из них только в
кино были 25 — (10-х) – (6-х) – х = (9+х).

Аналогично, только в театре были (1+х) чел.

Только в цирке были (3+х) чел.

Не были в театре, кино и цирке – 2 чел.

Значит, 36-2=34 чел. побывали на мероприятиях.

С другой стороны можем просуммировать
количество человек, которые были в театре, кино и
цирке:

(9+х)+(1+х)+(3+х)+(10-х)+(6-х)+(4-х)+х = 34

Отсюда следует, что только один человек побывал
на всех трех мероприятиях.

Таким образом, круги Эйлера (диаграммы
Эйлера-Венна) находят практическое применение
при решении задач в формате ЕГЭ и ГИА и при
решении содержательных логических задач.

Литература

  1. В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. Логика в информатике.
    М.: Информатика и Образование, 2006. 155 с.
  2. Л.Л. Босова. Арифметические и логические основы
    ЭВМ. М.: Информатика и образование, 2000. 207 с.
  3. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и
    ИКТ для 8 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 220
    с.
  4. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и
    ИКТ для 9 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 244
    с.
  5. Сайт ФИПИ: http://www.fipi.ru/

Круги Эйлера. Составление запросов для поисковых систем

1. Составление запросов для поисковых систем

Решение задач с помощью
диаграмм Эйлера – Венна
Составление запросов
для поисковых систем
Диаграммы Эйлера — Венна
Диаграммы Эйлера — Венна —
общее название целого ряда
методов визуализации и способов
графической иллюстрации,
широко используемых в различных
областях науки:
• теории множеств,
• теории вероятностей,
• логике,
• статистике,
• менеджменте,
• компьютерных науках.
2
Леонард Эйлер
Швейцарский, немецкий и российский
математик и механик,
внёсший фундаментальный вклад
в развитие многих наук.
Леонард
Эйлер
(1707—1783)
Эйлер — автор более 850 работ
по математическому анализу,
дифференциальной геометрии,
теории чисел, приближённым
вычислениям, небесной механике,
математической физике, оптике,
баллистике, кораблестроению,
теории музыки и другим областям.
3
Круги Эйлера
При решении целого ряда
задач Леонард Эйлер
использовал идею
изображения множеств
с помощью кругов.
Леонард
Эйлер
(1707—1783)
Например:
А – люди
В – живые существа
С – неживые предметы
4
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Однако, ещё до Эйлера
выдающийся немецкий
философ и математик
Готфрид Вильгельм Лейбниц
использовал этот метод
для геометрической
интерпретации логических
связей между понятиями,
но всё же предпочитал
использовать линейные схемы
Готфрид
Вильгельм
фон Лейбниц
(1646 — 1716)
5
Джон Венн
Особенного расцвета графические
методы достигли в сочинениях
британским философа, математика
и логика Джона Венна, изложившего
их в книге «Символическая логика»
в 1881 г.
Джон Венн
(1834—1923)
Поэтому такие схемы называют
Диаграммы Эйлера — Венна.
Венн расширил математическую
логику Буля и более всего известен
среди математиков и логиков за его
схематический способ
представления множеств и
их объединений и пересечений.
6
Диаграммы Эйлера — Венна
Пересечение множеств
А∩В
Объединение множеств
А
В
АUВ
7
Диаграммы Эйлера — Венна
Логическое И
А
Логическое ИЛИ
А
В
А&В
Логическое НЕ
В
А|В=А+В–А&В
_
Х
Х
8
Диаграммы Эйлера — Венна
Пример
А
1+4=А&В
1
В
2+4=А&С
2
4
3+4=В&С
3
4=А&В&С
С
9

10. Задача 1

В таблице приведены запросы и количество найденных
по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:
Запрос
Найдено страниц
(в тысячах)
Шахматы | Теннис
7770
Теннис
5500
Шахматы & Теннис
1000
Какое количество страниц (в тысячах)
будет найдено по запросу Шахматы?
Считается, что все запросы выполнялись
практически одновременно, так что набор страниц,
содержащих все искомые слова, не изменялся
за время выполнения запросов.
10

11. Решение

Найдено страниц
(в тысячах)
Запрос
Шахматы | Теннис
7770
Теннис
5500
Шахматы & Теннис
1000
Ш
Т
Ш|Т
Ш&Т
Ш = (Ш|Т) – Т + (Ш & Т) = 7770 – 5500 + 1000
Ответ: 3270
11

12. Задача 2

В таблице приведены запросы и количество найденных
по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:
Запрос
Найдено страниц
(в тысячах)
Динамо & Рубин
Спартак & Рубин
(Динамо | Спартак) & Рубин
320
280
430
Какое количество страниц (в тысячах)
будет найдено по запросу
Рубин & Динамо & Спартак?
12

13. Решение

Запрос
Области
Найдено страниц
(в тысячах)
Динамо & Рубин
Спартак & Рубин
(Динамо | Спартак) & Рубин
Рубин & Динамо & Спартак
1+2
2+3
1+2+3
2
320
280
430
?
Обозначим области,
которые соответствуют
каждому запросу:
Д
Р
1
2
3
С
Ответ: 170
13

14. Задача 3

Некоторый сегмент сети Интернет состоит
из 1000 сайтов. Поисковый сервер
в автоматическом режиме составил таблицу
ключевых слов для сайтов этого сегмента.
Вот ее фрагмент:
Ключевое
слово
сканер
принтер
монитор
Количество сайтов, для которых
данное слово является ключевым
200
250
450
14

15. Задача 3

Ключевое
слово
сканер
принтер
монитор
Количество сайтов, для которых
данное слово является ключевым
200
250
450
Сколько сайтов будет найдено по запросу
(принтер | сканер) & монитор
если было найдено:
по запросу принтер | сканер 450 сайтов,
по запросу принтер & монитор – 40,
по запросу сканер & монитор – 50?
15

16. Решение

Ключевое
слово
сканер
принтер
монитор
Количество сайтов, для которых
данное слово является ключевым
200
250
450
Заметим, что в этом сегменте сети нет
сайтов, на которых ключевыми
словами являются одновременно
принтер и сканер: П & С= 0
(П|С) & М = (П & М) | (С & М) =
= 40 + 50 = 90
Ответ: 90
50
40
16

17. Задача 4

В таблице приведены запросы к поисковому
серверу. Расположите номера запросов в порядке
возрастания количества страниц, которые найдет
поисковый сервер по каждому запросу.
1) принтеры & сканеры & продажа
2) принтеры & сканеры
3) принтеры | сканеры
4) принтеры | сканеры | продажа
11
Ответ: 1234
22
33
44
17

18. Задачи для тренировки

1) В таблице приведены запросы к поисковому серверу, условно
обозначенные буквами от А до Г. Расположите запросы в
порядке возрастания количества страниц, которые найдет
поисковый сервер по каждому запросу. Ответ запишите в виде
последовательности соответствующих букв.
А) Гренландия & Климат & Флора & Фауна
Б) Гренландия & Флора
В) (Гренландия & Флора) | Фауна
Г) Гренландия & Флора & Фауна
2) В таблице приведены запросы к поисковому серверу.
Расположите номера запросов в порядке убывания количества
страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому
запросу.
1) барокко | (классицизм & ампир)
2) барокко | классицизм
3) (классицизм & ампир) | (барокко & модерн)
18
4) барокко | ампир | классицизм

19. Задачи для тренировки

3) Некоторый сегмент сети Интернет состоит
из 1000 сайтов. Поисковый сервер составил таблицу
ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее
фрагмент:
Количество сайтов, для которых
Ключевое слово
данное слово является ключевым
сомики
250
меченосцы
200
гуппи
500
Сколько сайтов будет найдено по запросу
сомики | меченосцы | гуппи,
если по запросу сомики & гуппи было найдено 0
сайтов, по запросу сомики & меченосцы – 20,
а по запросу меченосцы & гуппи – 10?
19

20. Задачи для тренировки

4) В таблице приведены запросы и количество
страниц, которые нашел поисковый сервер
по этим запросам в некотором сегменте
Интернета:
Запрос
Количество страниц (тыс.)
Атос & Портос
Атос & Арамис
Атос & Портос & Арамис
335
235
120
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено
по запросу Атос & (Портос | Арамис)?
20
Задачи для тренировки
5) В таблице приведены запросы и количество
найденных по ним страниц некоторого
сегмента сети Интернет:
Запрос
Найдено страниц (в тысячах)
март & май
май & апрель
май & (март | апрель)
472
425
620
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено
по запросу март & апрель & май?
21
Ответы
1)
2)
3)
4)
5)
АГБВ
4213
920
450
277
Посмотреть решения
Завершить показ
22
Решение
Ответы
1)
АГБВ
А
Б
1
2
В
Г
2)
4213
3
4
3)
920
С | М | Г = 250 + 200 + 500 – 20 – 10 = 920
23
Решение
Ответы
4)
1
3 2
450
Атос & (Портос | Арамис) = 1 + 2 + 3 = ?
1 + 2 = 335
2 + 3 = 235
2 = 120
5)
277
март & апрель & май = 2 = ?
3 + 2 = 472
2 + 4 = 425
3 + 2 + 4 = 620
24

25. Источники информации

1. Акимов О.Е., Дискретная математика. Операции
логики Буля.
2. Официальный информационный портал ЕГЭ
www.ege.edu.ru
3. Преподавание, наука и жизнь. http://kpolyakov.spb.ru
4. http://www.wikiznanie.ru
5. http://ru.wikipedia.org/wiki
25

Что такое кружки Эйлера в информатике. Презентация по математике на тему «Круги Эйлера

».

Каждый предмет или явление имеет определенные свойства (признаки).

Получается, что составить понятие предмета означает, прежде всего, умение отличать его от других подобных ему предметов.

Можно сказать, что понятие — это ментальное содержание слова.

Concept — это форма мысли, которая отображает объекты в их наиболее общих и важных атрибутах.

Понятие — это форма мысли, а не форма слова, поскольку слово — это всего лишь ярлык, которым мы отмечаем ту или иную мысль.

Слова могут быть разными, но означают одно и то же. По-русски — «карандаш», по-английски — «карандаш», по-немецки — bleistift. Одна и та же мысль в разных языках имеет разное словесное выражение.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КОНЦЕПЦИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.

Понятия, имеющие общие черты по своему содержанию, называются СРАВНИТЕЛЬНЫЙ («Юрист» и «заместитель»; «студент» и «спортсмен»).

В противном случае концепты считаются Несравненный («Крокодил» и «блокнот»; «человек» и «пароход»).

Если, помимо общих функций, у концептов есть общие элементы объема, то они называются СОВМЕСТИМЫЕ .

Есть шесть видов отношений между сопоставимыми понятиями. Связи между объемами понятий удобно обозначать кружками Эйлера (круговыми схемами, где каждый кружок представляет собой объем понятия).

ВИД ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ ИЗОБРАЖЕНИЕ С КРУГОМ Эйлера
ИНДИВИДУАЛЬНОСТЬ (ИДЕНТИЧНОСТЬ) Объемы понятий полностью совпадают. Те. это концепции, различающиеся по содержанию, но они мыслят одними и теми же элементами объема. 1) A — Аристотель B — основоположник логики 2) A — квадрат B — равносторонний прямоугольник
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ (ПОДЗАКАЗ) Объем одного концепта полностью входит в объем другого, но не исчерпывает его. 1) A — человек B — студент 2) A — животное B — слон
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ) Объемы двух концептов частично совпадают. То есть концепции содержат общие элементы, но также включают элементы, принадлежащие только одному из них. 1) А — юрист Б — заместитель 2) А — студент Б — спортсмен
СОСТАВ (КООРДИНАЦИЯ) Понятия, не имеющие общих элементов, полностью входят в объем третьего, более широкого понятия. 1) А — животное Б — кошка; C — собака; Г — мышь 2) А — драгоценный металл; Б — золото; C — серебро; D — Платина
ПРОТИВОПОЛОЖЕНИЕ (КОНТРАРНОСТЬ) Концепции A и B не просто входят в объем третьей концепции, но как бы находятся на ее противоположных полюсах.То есть концепт A имеет в своем содержании такой знак, который в концепте B заменен на противоположный. 1) А — белый кот; Б — рыжий кот (коты черно-серые) 2) А — горячий чай; холодный чай (чай может быть теплым), т.е. концепты А и Б не исчерпывают всего объема концепта, в который они входят.
ПРОТИВОРЕЧИЕ (ПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ) Связь между понятиями, одно из которых выражает наличие каких-либо признаков, а другое — их отсутствие, то есть просто отрицает эти признаки, не заменяя их какими-либо другими. 1) A — высокий дом B — низкий дом 2) A — выигрышный билет B — невыигрышный билет, т.е. концепции A и не-A исчерпывают весь объем концепции, в которую они входят, поскольку никакие дополнительные концепции не могут быть помещены между их.

Упражнение: Определите тип отношения с помощью следующих понятий. Нарисуйте их кружками Эйлера.

1) А — горячий чай; Б — холодный чай; В — чай ​​с лимоном

Горячий чай (B) и холодный чай (C) находятся в противоположном соотношении.

Чай с лимоном (С) может быть как горячий

и холодный, но может быть, например, тёплым.

2) И — дерево; AT — камень; С — состав; D — дом.

Каждое здание (C) — это дом (D)? — №

Каждый дом (D) — это здание (C)? — Да.

Что-то деревянное (A), будь то дом (D) или здание (C) — №

Но можно найти деревянную конструкцию (например будку),

можно найти и деревянный дом.

Что-то из камня (B) не обязательно является домом (D) или зданием (C).

Но может быть и каменное строение, и каменный дом.

3) И — город России; АТ — столица России;

СО — Москва; D — город на Волге; E — Углич.

Столица России (Б) и Москва (В) — один и тот же город.

Углич (Э) — город на Волге (Г).

При этом Москва, Углич, как и любой город на Волге,

— города России (А)

Если вы думаете, что ничего не знаете о таком понятии, как круги Эйлера, то глубоко ошибаетесь.Уже в начальной школе известны схематические изображения или круги, позволяющие визуально понять взаимосвязь между концепциями и элементами системы.

Метод, изобретенный Леонардом Эйлером, был использован ученым для решения сложных математических задач. В кругах он изобразил декорации и положил эту схему в основу такого понятия, как символическое. Метод призван максимально упростить рассуждения, направленные на решение той или иной проблемы, поэтому метод активно используется как в начальной школе, так и в академической среде.Интересно, что подобный подход ранее использовался немецким философом Лейбницем, а позже был подхвачен и применен в различных модификациях известными умами в области математики. Например, прямоугольные диаграммы чешского Больцано, Шредера, Венна, известного тем, что создали популярную диаграмму на основе этого простого, но удивительно эффективного метода.

Круги являются основой так называемых «визуальных интернет-мемов», в основе которых лежит схожесть знаков отдельных наборов.Весело, наглядно, а главное понятно.

Круги мысли

Круги позволяют наглядно описать условия задачи и мгновенно принять правильное решение или выявить направление движения в сторону правильного ответа. Как правило, круги Эйлера используются для решения логических и математических задач, связанных с множествами, их ассоциациями или частичными наложениями. Объекты, обладающие свойствами каждого из множеств, изображенных в круге, попадают в точку пересечения кругов.Объекты, не входящие в набор, находятся за пределами того или иного круга. Если понятия абсолютно эквивалентны, они обозначаются одним кружком, представляющим объединение двух множеств, имеющих одинаковые свойства и объемы.

Логика взаимоотношений

С помощью кругов Эйлера можно решить ряд повседневных задач и даже определиться с будущей профессией, нужно лишь проанализировать свои возможности и желания и выбрать их максимальное пересечение.

Теперь становится ясно, что круги Эйлера — это вовсе не абстрактное математическое и философское понятие из разряда теоретических знаний, они имеют очень прикладное и практическое значение, позволяя разбираться не только в простейших математических задачах, но и решать важные жизненные дилеммы в ясной и понятной форме.

При решении многих задач, связанных с множествами, незаменима техника, основанная на использовании так называемых «кругов Эйлера». Эти диаграммы впервые появились в трудах одного из величайших математиков в истории Леонарда Эйлера, долгое время жившего и работавшего в России и являвшегося членом Петербургской Академии наук. Использование кругов Эйлера делает решение сложных проблем очевидным, делая многие вещи буквально очевидными. Предлагаю вам убедиться в этом самостоятельно, решив на примере следующую задачу.

Пример решения задачи с использованием окружностей Эйлера

Здесь нужно понимать, что если сказано, что «метро пользуются 42 человека», это не значит, что они не пользуются никакими другими видами транспорта, кроме метро. Один из них может быть и пользуется. Может быть другой вид транспорта, трамвай или автобус. А может и то и другое сразу! Вопрос в задаче состоит в том, чтобы точно посчитать людей, которые пользуются всеми тремя видами транспорта.

На первый взгляд даже не понятно, с чего начать решение.Но если немного подумать, становится понятно, что действовать нужно по следующему алгоритму. Мы постараемся раскрасить всех людей (58 человек) по данным, известным из состояния. Мы знаем, что автобусом пользуются 44 человека. Добавьте к этому количество людей, пользующихся метро. Их всего 42 штуки. Используя круги Эйлера, эту операцию можно визуализировать в следующем виде:

То есть пока мы имеем дело с выражением 58 = 44 + 42 … Знак «…» означает, что выражение еще не закончено.Проблема в том, что мы дважды считали людей на пересечении этих кругов. Соответствующая область на диаграмме выделена темно-зеленым цветом. Поэтому их нужно вычесть один раз. Это люди, которые пользуются автобусом и метро. Как известно, их 31. То есть наше «недоделанное» выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31 … И исчезает темно-зеленый цвет на диаграмме:

Пока все хорошо. Теперь добавляем людей, которые едут на трамвае. Таких 32 человек.Выражение принимает вид: 58 = 44 + 42 — 31 + 32 … Диаграмма с кругами Эйлера, в свою очередь, принимает следующий вид:

К счастью, в неокрашенной области есть именно те люди, количество которых нам нужно посчитать. Действительно, эти бедные люди каждый день пользуются всеми тремя видами транспорта, чтобы добраться до работы, потому что они находятся на пересечении всех трех комплексов. Обозначьте количество этих бедолаг. Тогда диаграмма примет следующий вид:

И уравнение будет таким:

Расчеты дают.Это ответ на проблему. Так много людей каждый день используют все три вида транспорта, чтобы добраться до работы.

Вот такое простое решение. Фактически в одном уравнении. Просто потрясающе, не правда ли ?! А теперь представьте, как бы вам пришлось решить эту проблему без использования кругов Эйлера. Это было бы настоящим мучением. Итак, мы еще раз убеждаемся, что любые методы визуализации чрезвычайно полезны при решении задач по математике. Используйте их, это поможет вам в решении сложных задач как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах по математике в лицеи и вузы.

Чтобы проверить, понимаете ли вы решение этой проблемы, ответьте на следующие вопросы:

  1. Сколько людей используют только один вид транспорта, чтобы добраться до работы?
  2. Сколько людей используют для этого ровно два вида транспорта?

Свои ответы и решения присылайте в комментариях.

Материал подготовил Сергей Валерьевич

Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка сталкивались с ними не раз, просто не знали, как это называется.Где именно? Схемы в виде кругов Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (тиражируемых в сети изображений по определенной теме).

Давайте вместе разберемся, что это за круги, почему они так называются и почему их так удобно использовать для решения многих задач.

Происхождение термина

— Это геометрическая диаграмма, которая помогает найти и / или сделать логические связи между явлениями и концепциями более наглядными. А также помогает изобразить взаимосвязь между любым набором и его частью.

Еще не совсем понятно, правда? Взгляните на это изображение:

На рисунке показано много — всевозможные игрушки. Некоторые игрушки дизайнерские — они выделены отдельным овалом. Это часть большого набора «игрушек» и одновременно отдельный набор (ведь конструктором могут быть «Лего» и примитивные конструкторы из кубиков для детей). Некоторая часть большого разнообразия «игрушек» может быть заводной игрушкой. Они не конструкторы, поэтому рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «Заводная машинка» одновременно относится к множеству «игрушек» и является частью меньшего набора «Заводная игрушка».Поэтому он изображен сразу внутри обоих овалов.

Ну так стало понятнее? Поэтому круги Эйлера — это метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что ясность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.

Автор метода — ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он говорил о схемах, названных его именем: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши мысли». Эйлера считают немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком.Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской Академии наук и внес значительный вклад в развитие российской науки.

До него немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц руководствовался аналогичным принципом при построении своих выводов.

Метод Эйлера заслужил признание и популярность. И после этого многие ученые использовали его в своей работе, а также модифицировали по-своему. Например, чешский математик Бернар Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Эрнест Шредер, немецкий математик, также внес свой вклад. Но главные заслуги принадлежат англичанину Джону Венну. Он был специалистом по логике и опубликовал книгу «Символическая логика», в которой подробно изложил свою версию метода (в основном он использовал изображения пересечений множеств).

Благодаря вкладу Венна этот метод даже называют диаграммами Венна или даже диаграммами Эйлера-Венна.

Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера

имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи объединения или пересечения множеств в математике, логике, управлении и не только.

Если говорить о типах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, которые описывают объединение некоторых понятий (например, соотношение рода и вида) — мы рассмотрели их на примере в начале статьи.

А также те, которые описывают пересечение множеств по некоторой основе. Этим принципом руководствовался в своих схемах Джон Венн. И именно он лежит в основе многих популярных мемов в Интернете. Вот один из примеров таких кругов Эйлера:

Забавно, правда? А главное все сразу становится понятно.Вы можете потратить много слов, объясняя свою точку зрения, или вы можете просто нарисовать простую диаграмму, которая сразу расставит все по своим местам.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, такой рисунок поможет вам определиться:

Те варианты, которые будут на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас накормить, но и понравится вам.

Решение задач с кругами Эйлера

Давайте рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.

Вот на этом сайте — http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link\u003dkr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и несложные задачи, для решения которых необходим метод Эйлера. Используя логику и математику, разберем один из них.

Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполнили анкету с вопросами о любимых мультфильмах.Оказалось, что большинству из них нравятся Белоснежка и семь гномов, Губка Боб Квадратные Штаны и Волк и Теленок. В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» понравился 21 ученику. И трое из них также любят Волка и Теленка, шестерым — Губку Боба Квадратные Штаны, а одному ребенку нравятся все три мультфильма одинаково. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в профиле два мультфильма. Нам нужно определить, скольким шестиклассникам нравится Губка Боб Квадратные Штаны.

Решение:

Так как нам даны три набора в соответствии с условиями задачи, рисуем три круга.А поскольку по ответам ребят оказывается, что наборы пересекаются друг с другом, рисунок будет выглядеть так:

Напоминаем, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пять парней выбрали сразу два мультфильма:

Получается, что:

21 — 3 — 6 — 1 = 11 — ребята выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 — 3 — 1 — 2 = 7 — ребята смотрят только «Волк и теленок.«

Осталось только выяснить, сколько шестиклассников предпочитают мультфильм «Губка Боб Квадратные штаны» двум другим вариантам. Из общего количества учеников убираем всех, кто любит два других мультика или выбираем несколько вариантов:

38 — (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 — люди смотрят только SpongeBob SquarePants.

Теперь мы можем смело сложить все полученные цифры и выяснить, что:

мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.Это ответ на поставленный в задаче вопрос.

А давайте посмотрим на задание , которое в 2011 году было сдано на ЕГЭ демонстрационное тестирование по информатике и ИКТ (источник — http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Условия задачи:

В языке запросов поискового сервера символ «|» используется для обозначения логической операции «ИЛИ», а символ «&» используется для логической операции «И».

В таблице указаны запросы и количество найденных на них страниц для определенного сегмента Интернета.

Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор 7000
Крейсер 4800
Линкор 4500

Сколько страниц (в тысячах) можно найти в запросе Cruiser & Battleship ?

Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, поэтому набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменился во время выполнения запросов.

Решение:

С помощью кружков Эйлера изобразим условия задачи. В этом случае мы используем числа 1, 2 и 3 для обозначения результирующих областей.

Исходя из условий задачи составляем уравнения:

  1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
  2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
  3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Cruiser & Battleship (обозначенный как область 2 на чертеже), мы подставляем уравнение (2) в уравнение (1) и выясняем, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь мы можем подставить этот результат в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Cruiser & Battleship.

Как видите, круги Эйлера помогают быстро и легко решать даже довольно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Заключение

Полагаю, нам удалось убедить вас, что кружки Эйлера — это не только занимательная и интересная вещь, но и очень полезный метод решения задач.Причем не только абстрактные задания на школьных уроках, но и вполне бытовые задачи. Например, выбор будущей профессии.

Вам наверняка будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера отражаются не только в форме мемов, но и в популярных телешоу. Такие как Теория большого взрыва и 4isla.

Используйте этот полезный и интуитивно понятный метод для решения проблем. И обязательно расскажи об этом своим друзьям и одноклассникам. Для этого под статьей есть специальные кнопки.

Сайт

, при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

теория графов | Проблемы и приложения

Теория графов , раздел математики, связанный с сетями точек, соединенных линиями. Теория графов зародилась в развлекательных математических задачах ( см. Игру с числами ), но превратилась в значительную область математических исследований с приложениями в химии, исследованиях операций, социальных науках и информатике.

Подробнее по этой теме

комбинаторика: теория графов

Граф G состоит из непустого набора элементов V (G) и подмножества E (G) …

История теории графов восходит к 1735 году, когда швейцарский математик Леонард Эйлер решил проблему Кенигсбергского моста. Проблема Кенигсбергского моста была старой загадкой, касающейся возможности найти путь через каждый из семи мостов, пересекающих разветвленную реку, протекающую мимо острова, — но без необходимости пересекать мост дважды.Эйлер утверждал, что такого пути не существует. Его доказательство включало только ссылки на физическое устройство мостов, но по существу он доказал первую теорему теории графов.

мостов Кенигсберга

В XVIII веке швейцарского математика Леонарда Эйлера заинтриговал вопрос, существует ли маршрут, который пересекает каждый из семи мостов ровно один раз. Доказав, что ответ отрицательный, он заложил основы теории графов.

Британская энциклопедия, Inc.

В теории графиков термин график не относится к диаграммам данных, таким как линейные или гистограммы. Вместо этого он относится к набору вершин (то есть точек или узлов) и ребер (или линий), соединяющих вершины. Когда любые две вершины соединяются более чем одним ребром, граф называется мультиграфом. Граф без петель и не более чем с одним ребром между любыми двумя вершинами называется простым графом. Если не указано иное, предполагается, что граф относится к простому графу.Когда каждая вершина соединяется ребром с каждой другой вершиной, граф называется полным графом. При необходимости каждому ребру может быть присвоено направление для создания так называемого ориентированного графа или орграфа.

Важным числом, связанным с каждой вершиной, является ее степень, которая определяется как количество ребер, которые входят в нее или выходят из нее. Таким образом, петля дает 2 степени своей вершины. Например, все вершины простого графа, показанного на диаграмме, имеют степень 2, тогда как все вершины показанного полного графа имеют степень 3.Знание количества вершин в полном графе характеризует его сущность. По этой причине полные графы обычно обозначаются K n , где n обозначает количество вершин, а все вершины K n имеют степень n — 1. ( В переводе на терминологию современной теории графов теорему Эйлера о проблеме Кенигсбергского моста можно переформулировать следующим образом: если существует путь вдоль ребер мультиграфа, который пересекает каждое ребро один и только один раз, то существует не более двух вершин нечетных степени; кроме того, если путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине, то никакие вершины не будут иметь нечетную степень.)

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

Еще одно важное понятие в теории графов — это путь, который представляет собой любой маршрут по краям графа. Путь может следовать за одним ребром непосредственно между двумя вершинами, или он может следовать за несколькими ребрами через несколько вершин. Если есть путь, соединяющий любые две вершины в графе, этот граф называется связным. Путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине, не пересекая какое-либо ребро более одного раза, называется схемой или замкнутым путем.Схема, которая следует за каждым ребром ровно один раз при посещении каждой вершины, называется схемой Эйлера, а граф называется графом Эйлера. Эйлеров граф связен и, кроме того, все его вершины имеют четную степень.

Схема Эйлера

Граф — это набор вершин или узлов и ребер между некоторыми или всеми вершинами. Когда существует путь, который пересекает каждое ребро ровно один раз, так что путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине, путь известен как контур Эйлера, а граф известен как граф Эйлера. Эйлериан относится к швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, который изобрел теорию графов в 18 веке.

Encyclopædia Britannica, Inc.

В 1857 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон изобрел головоломку (Икосианскую игру), которую позже продал производителю игр за 25 фунтов стерлингов. Головоломка заключалась в нахождении особого типа пути, позже известного как гамильтонова цепь, вдоль краев додекаэдра (платоново твердое тело, состоящее из 12 пятиугольных граней), который начинается и заканчивается в одном и том же углу, проходя через каждый угол ровно один раз.Маршрут коня ( см. Игра с числами : задачи с шахматной доской) — еще один пример развлекательной задачи, включающей гамильтонову схему. Гамильтоновы графы было сложнее охарактеризовать, чем эйлеровы графы, поскольку необходимые и достаточные условия существования гамильтоновой схемы в связном графе до сих пор неизвестны.

Гамильтонова схема

Ориентированный граф, в котором путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине (замкнутый цикл), так что каждая вершина посещается ровно один раз, называется гамильтоновой схемой.Ирландский математик XIX века Уильям Роуэн Гамильтон начал систематическое математическое изучение таких графов.

Encyclopædia Britannica, Inc.

Истории теории графов и топологии тесно связаны, и эти две области имеют много общих проблем и методов. Эйлер сослался на свою работу по проблеме Кенигсбергского моста как на пример geometria situs — «геометрии положения», в то время как развитие топологических идей во второй половине XIX века стало известно как analysis situs — « анализ позиции.В 1750 году Эйлер открыл формулу многогранника V E + F = 2, связывающую количество вершин ( V ), ребер ( E ) и граней ( F ) многогранника ( твердое тело, подобное упомянутому выше додекаэдру, грани которого являются многоугольниками). Вершины и ребра многогранника образуют граф на его поверхности, и это понятие привело к рассмотрению графов на других поверхностях, таких как тор (поверхность твердого бублика), и того, как они делят поверхность на дискообразные грани.Формула Эйлера вскоре была обобщена на поверхности как V E + F = 2 — 2 г , где г обозначает род или количество «бубликовых отверстий» на поверхности ( см. Эйлерова характеристика). Рассмотрев поверхность, разделенную на многоугольники встроенным графом, математики начали изучать способы построения поверхностей, а позднее и более общих пространств, склеивая многоугольники вместе. Это было началом области комбинаторной топологии, которая позже, благодаря работам французского математика Анри Пуанкаре и других, превратилась в так называемую алгебраическую топологию.

Связь между теорией графов и топологией привела к подполе, называемому топологической теорией графов. Важная проблема в этой области касается плоских графов. Это графы, которые можно нарисовать в виде точечных диаграмм на плоскости (или, что то же самое, на сфере) без пересечения ребер, за исключением тех вершин, где они встречаются. Полные графы с четырьмя или менее вершинами являются планарными, а полные графы с пятью вершинами ( K 5 ) или более — нет. Непланарные графы нельзя рисовать на плоскости или на поверхности сферы без пересечения ребер между вершинами.Использование диаграмм из точек и линий для представления графиков фактически выросло из химии 19-го века, где буквенные вершины обозначали отдельные атомы, а соединительные линии обозначали химические связи (со степенью, соответствующей валентности), в которой планарность имела важные химические последствия. Первое использование в этом контексте слова граф приписывается англичанину 19 века Джеймсу Сильвестру, одному из нескольких математиков, заинтересованных в подсчете специальных типов диаграмм, представляющих молекулы.

Другой класс графов — это совокупность полных двудольных графов K m , n , которые состоят из простых графов, которые можно разделить на два независимых набора по m и n вершин. такое, что между вершинами в каждом наборе нет ребер, и каждая вершина в одном наборе соединяется ребром с каждой вершиной в другом наборе. Подобно K 5 , двудольный граф K 3,3 не является плоским, опровергая заявление, сделанное в 1913 году английским проблематиком-любителем Генри Дудени относительно решения проблемы «газ-вода-электричество».В 1930 году польский математик Казимеж Куратовски доказал, что любой неплоский граф должен содержать копию определенного типа K 5 или K 3,3 . Хотя K 5 и K 3,3 не могут быть вложены в сферу, они могут быть вложены в тор. Проблема вложения графа касается определения поверхностей, в которые может быть вложен граф, и тем самым обобщает проблему планарности. Только в конце 1960-х годов проблема вложения для полных графов K n была решена для всех n .

Другая проблема топологической теории графов — это проблема раскраски карты. Эта проблема является результатом хорошо известной проблемы четырехцветной карты, которая спрашивает, можно ли раскрасить страны на каждой карте с помощью всего четырех цветов таким образом, чтобы страны, разделяющие границу, имели разные цвета. Первоначально заданная в 1850-х годах Фрэнсисом Гатри, тогда студентом Лондонского университетского колледжа, эта проблема имеет богатую историю, наполненную ошибочными попытками ее решения. В эквивалентной теоретико-графовой форме эту проблему можно перевести, чтобы спросить, всегда ли вершины плоского графа можно раскрасить, используя всего четыре цвета, таким образом, чтобы вершины, соединенные ребром, имели разные цвета.Результат был окончательно подтвержден в 1976 году с помощью компьютеризированной проверки почти 2000 специальных конфигураций. Интересно, что соответствующая проблема раскраски, касающаяся количества цветов, необходимых для раскрашивания карт на поверхностях более высокого рода, была полностью решена несколькими годами ранее; например, карты на торе могут потребовать до семи цветов. Эта работа подтвердила, что формула английского математика Перси Хивуда из 1890 года правильно дает эти числа окраски для всех поверхностей, кроме односторонней поверхности, известной как бутылка Клейна, для которой правильное число окраски было определено в 1934 году.

Среди текущих интересов теории графов — проблемы, касающиеся эффективных алгоритмов поиска оптимальных путей (в зависимости от различных критериев) в графах. Два хорошо известных примера — это задача китайского почтальона (кратчайший путь, который проходит по каждому ребру хотя бы один раз), которая была решена в 1960-х годах, и задача коммивояжера (кратчайший путь, который начинается и заканчивается в одной и той же вершине и проходит через каждую из них). edge ровно один раз), который продолжает привлекать внимание многих исследователей благодаря своим приложениям для маршрутизации данных, продуктов и людей.Работа над такими задачами связана с областью линейного программирования, основанной в середине 20 века американским математиком Джорджем Данцигом.

Что такое диаграмма Венна и для чего она используется?

Диаграмма Венна — полезный инструмент для математиков, учителей, статистиков и всех, кому необходимо представить визуальные эффекты или упростить понимание сложной информации. В этой статье мы обсудим диаграмму Венна, включая ее приложения, преимущества и то, как вы можете создать диаграмму для визуального представления различных концепций и сделать выводы.

Что такое диаграмма Венна?

Диаграмма Венна — это представление того, как группы относятся друг к другу. Группы обычно называют «наборами».

Диаграммы Венна обычно состоят из двух-трех перекрывающихся кругов, но в зависимости от количества наборов на диаграмме может быть больше фигур. Кроме того, любой, кто делает такую ​​диаграмму, может использовать разные формы. Каждая фигура представляет собой набор чисел, предметов или понятий. Когда наборы имеют похожие значения, эти значения появляются в перекрывающихся областях, называемых «пересечениями».«

Диаграммы Венна названы в честь английского логика Джона Венна. Эти формы в значительной степени основаны на диаграммах Эйлера, однако, в отличие от диаграмм Эйлера, диаграммы Венна предназначены для отображения всех возможных отношений между двумя или более анализируемыми группами, даже если одна или несколько наборов не имеют значений.

Когда использовать диаграмму Венна

Диаграммы Венна часто встречаются в математическом контексте, но предприятия и профессионалы также используют эти формы. В каждом случае человек, создающий иллюстрацию, хочет решить проблема, принять важное решение, предсказать вероятности или понять или визуализировать, как несколько наборов, концепций или объектов связаны друг с другом.Примеры, когда диаграмма Венна может быть полезной, включают:

Математика

Математические диаграммы Венна позволяют ученым решать сложные задачи. Вот наиболее распространенные типы математических задач, с которыми помогают диаграммы Венна:

Задача объединения

Задача объединения требует, чтобы учащиеся поместили все числа во все наборы на диаграмме.

Задача пересечения

Задача пересечения требует от учащихся размещать только те числа, которые пересекаются на диаграмме.Например, если задача дает набор из трех чисел (1, 15 и 27) и набор из семи чисел (1, 3, 14, 19, 21, 25 и 27), на диаграмме появятся только 1 и 27. , на пересечении кругов.

Симметричная проблема

Симметричная разность двух наборов требует, чтобы на иллюстрации были представлены только числа, которые не перекрываются.

Абсолютная проблема

Абсолютное дополнение одного набора требует, чтобы все числа, не входящие в этот набор, были представлены на диаграмме.

Связано: дедуктивное рассуждение: определение и примеры

Business

На многих деловых встречах используются диаграммы Венна, особенно как часть слайд-шоу. Вот сколько предприятий могут использовать диаграммы:

Анализ рынка

Бизнес-лидер может использовать диаграмму Венна для базового анализа рынка. Используя два или более набора информации, участники собрания смотрят на пересекающиеся области, поскольку эти области содержат целевой рынок бизнеса.

Анализ конкурентов

Компании могут использовать диаграммы Венна для сравнения себя и / или своей продукции с конкурентами. Во многих случаях бизнес, использующий диаграмму Венна, может использовать только два набора информации, чтобы увидеть, чем они отличаются от конкурентов, и найти какие-либо сходства. Это помогает бизнесу узнать, какие преимущества у него уже есть, и сосредоточиться на областях, в которых они могут внести улучшения.

Сравнение продуктов

В качестве альтернативы, бизнесмен может создать иллюстрацию с перекрывающимися формами, чтобы взвесить преимущества двух или более идей продукта.Точно так же, как бизнес анализирует рынок, бизнесмен взвешивает любые различия и сходства, которые разделяют две или более идей, чтобы определить, какие характеристики продукта являются наиболее желательными, как показано в пересекающихся областях.

Принятие решений

Те же принципы анализа двух или более продуктовых идей применимы к общему процессу принятия решений в бизнесе.

Связано: Как анализ данных может улучшить процесс принятия решений

Другое применение

Диаграммы Венна также используются в информатике, лингвистике, логике, статистике и обучении:

  • Ученые-информатики используют диаграммы Венна для визуализации компьютера языки и их иерархии.
  • В лингвистике люди, использующие эти иллюстрации, пытаются понять сходство разных языков.
  • В логике кто-то может использовать эти иллюстрации для прохождения логических операторов, которые содержат союзы «или» и «и», чтобы проверить правильность этих аргументов. Там, где стоит «и», идеи пересекаются.
  • Статистики могут использовать диаграммы Венна для сравнения возможных событий и прогнозирования вероятности их возникновения.
  • Учителя могут использовать диаграммы, чтобы помочь учащимся улучшить понимание прочитанного.При анализе романов диаграммы Венна позволяют учащимся понять различия и сходства между персонажами, идеями, темами и обстановкой, а также другими элементами этих историй.

Связано: Индуктивное мышление: определение и как его использовать

Преимущества диаграммы Венна

Диаграмма Венна дает следующие преимущества:

Она позволяет людям визуализировать концепции и отношения.

Иногда людям необходимо визуализировать концепции, чтобы лучше понять их, даже если идеи просты.Например, если два продукта, такие как автомобили, имеют в общей сложности 20 функций, но 10 различных функций, иллюстрация может позволить людям узнать, какие функции у автомобилей общие, быстрее, чем это было бы в устной беседе.

Он превращает сложную информацию в понятные людям термины.

Это верно, когда люди смотрят статистику или когда они рассматривают различные темы в истории. Часто диаграммы Венна используют отдельные слова или краткие идеи для представления сложных мыслей.В зависимости от объема доступных данных людям может потребоваться иллюстрация, чтобы лучше обрабатывать всю эту информацию.

Помогает людям лучше запоминать информацию.

Многие диаграммы Венна красочные, а цвет позволяет людям ассоциировать идеи с используемыми цветами. В других случаях простое действие по созданию диаграммы Венна и заметок позволяет людям усвоить информацию и легко вспомнить концепции.

Типы диаграмм Венна

Существует множество типов диаграмм Венна, которые можно использовать для выражения идей или анализа данных.Вот несколько типов:

Диаграммы Венна

Когда Венн задумывал свою диаграмму, он начал с двух симметричных замкнутых кривых (кругов), но он разрешил диаграммы с тремя или более формами:

  • Два круга диаграмма. Двухкружная диаграмма Венна показывает взаимосвязь между двумя наборами информации. Два круга обычно пересекаются по вертикали, поэтому одна фигура находится слева, а другая — справа.
  • Трехкружная диаграмма. Его трехкружная диаграмма показывает взаимосвязь между тремя группами информации. Обычно два набора ориентированы так, как если бы были доступны только два набора информации. Третий набор пересекает два других по горизонтали (вверх или вниз).
  • Четырехкружная диаграмма. Его четырехугольная диаграмма потеряет симметрию, и пересечение всех форм станет возможным. Венн придумал схему из четырех фигур, включающую три круга и изогнутую форму. В качестве альтернативы он построил диаграмму с четырьмя эллипсами.

Помимо четырех наборов, Венн построил наборы, в которых каждая последующая кривая будет переплетаться с предыдущими кривыми при пересечении с исходными тремя наборами.

Диаграмма Бранко Грунбаума

Математик Бранко Грумбаум создал диаграмму Венна из пяти наборов:

  • Диаграмма содержит конгруэнтные осесимметричные эллипсы.
  • Все формы встречаются на большом пересечении.
  • Есть 25 небольших перекрестков.

Всего на диаграмме Бранко Грумбаума Венна 31 регион.Некоторые математики экспериментируют с ним и помещают числа во все области так, чтобы сумма во всех пяти наборах (A, B, C, D и E) была одинаковой.

Диаграммы Эдвардса-Венна

Британский статистик Энтони Уильям Фэйрбэнк Эдвардс создал серию диаграмм, состоящих из трех или более наборов:

  • Диаграмма из трех наборов. Его трехкомпонентная диаграмма имеет два прямоугольника, пересекающих круг под прямым углом (один прямоугольник ориентирован горизонтально, а другой — вертикально).
  • Четырехнаборная диаграмма. Его диаграмма с четырьмя наборами включает форму, которая похожа на шов теннисного мяча и лежит вокруг центра круга. По длине форма шва тянется вертикально.
  • Диаграмма из четырех элементов плюс. Помимо четырех наборов, Эдвардс допустил последовательные формы зубчатых колес, каждая из которых удваивает количество зубцов по сравнению с предыдущей формой. Каждая из этих форм покоится в центре вселенной.

Как создать диаграмму Венна

Вы можете создать диаграмму Венна, выполнив следующие действия:

1.Установите параметры вашего анализа.

Сначала вам может потребоваться задать себе несколько вопросов. Во-первых, определите, какова ваша цель, например, принять важное решение или понять сложные темы. Затем определите, сколько понятий или наборов идей, чисел или объектов будет задействовано. Затем определите тип диаграммы Венна, которую нужно создать, установив, как вы хотите показать взаимосвязь каждого набора друг с другом.

2. Создайте свою вселенную.

Как только вы узнаете, что вы хотите делать со своей диаграммой Венна, создайте область или «вселенную», которая обычно представляет собой прямоугольник, в котором будут располагаться все остальные формы.Убедитесь, что другие формы перекрываются, чтобы вы могли найти возможные отношения между наборами.

3. Промаркируйте все свои наборы.

Выбранные вами имена наборов должны отражать простые или упрощенные идеи, которые относятся ко всем данным в каждом наборе. Например, если вы сравниваете двух персонажей из романа, вы должны использовать имена персонажей для обозначения наборов. В математике наборы обычно имеют отдельные буквы (например, A, B, C и т. Д.), Которые служат метками для наборов.

4.Поместите данные на диаграмму Венна на основе отношений, которые вы хотите проанализировать.

Если вы хотите проанализировать все данные, разместите их на диаграмме на основе соответствующего набора. Если данные из одного набора встречаются на пересечении с другим, запишите эту информацию только один раз, на пересечении.

5. Найдите аналогичную информацию в каждом наборе, взвесьте различия и сделайте свой вывод.

Если вы пытаетесь принять важное решение, различия, которые вы обнаружите между группами, помогут вам принять решение.

Диаграммы Венна и диаграммы Эйлера, объясненные на примерах

Диаграммы

Венна и диаграммы Эйлера выглядят очень похоже, поэтому понятно, что многих людей смущает понимание разницы. Хотя оба типа диаграмм основаны на теории множеств, есть некоторые тонкие различия, которые делают их уникальными. Надеюсь, эта статья развеет ваши сомнения относительно диаграмм Венна и диаграмм Эйлера, и я приведу несколько примеров, чтобы сделать ее более ясной.

Венн против Эйлера: определение

Как я упоминал ранее, оба набора диаграмм основаны на теории множеств. Диаграмма Венна показывает все возможные логические отношения между набором наборов. Но диаграмма Эйлера показывает только отношения, существующие в реальном мире.

Диаграммы Венна и

Диаграммы Эйлера Примеры

Начнем с очень простого примера. Давайте рассмотрим надмножество животных с млекопитающими и птицами как подмножества. Диаграмма Венна показывает пересечение двух множеств, хотя такой возможности не существует в реальном мире.Диаграмма Эйлера, с другой стороны, не показывает пересечения.

Диаграммы Венна показывают все возможные комбинации, даже если они не существуют в реальном сценарии.

Теперь давайте рассмотрим более сложный пример с колодой карт. Опять же, важно помнить о различии между двумя типами диаграмм: все возможные комбинации против реальных комбинаций . Давайте возьмем карты в качестве расширенного набора, а черные карты, красные карты и ромбы — в качестве подмножества.

Как одни и те же данные представлены по-разному с помощью диаграмм Венна и диаграмм Эйлера

Как показано в приведенном выше примере, диаграммы Венна показывают четыре пересечения, для которых нет данных, потому что они должны отображать все возможные комбинации.

Существуют различные методы преобразования диаграмм Венна в диаграммы Эйлера , и наоборот. Ознакомьтесь с этой замечательной вики-статьей о диаграммах Эйлера, в которой объясняются некоторые методы, которые вы можете использовать для преобразования диаграмм Венна в диаграммы Эйлера.Я надеюсь, что приведенные выше примеры помогли вам развеять ваши сомнения относительно диаграмм Венна и диаграмм Эйлера. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их в разделе комментариев.

Рисуете ли вы диаграммы Венна или диаграммы Эйлера, Creately предоставит вам все необходимые инструменты. Вы можете быстро начать работу, используя шаблоны диаграмм Венна, доступные нашим пользователям, или начать с нуля в области рисования. Если вы хотите добавить значки и изображения на диаграмму Венна, это можно легко сделать с помощью встроенного поиска изображений Google, доступного на левой боковой панели.Благодаря такому количеству супер крутых функций вы не ошибетесь с Creately.

Как я потерпел неудачу, потерпел неудачу и, наконец, преуспел в обучении кодированию

Веб-сайт программирования Project Euler предлагает план того, как научиться чему-либо в увлекательных дискретных шагах

Когда Колину Хьюзу было около одиннадцати лет, его родители принесли домой довольно странная игрушка. Он не был красочным или мультяшным; в нем не было ни лазеров, ни колес, ни мигалок; Коробка, в которой он пришел, была украшена не бюстом суперзлодея или блестящего главного героя, а маркированным текстом и изображением QWERTY-клавиатуры.Он называл себя «Микрокомпьютер ORIC-1». В комплект поставки входили две кассеты, несколько шнуров и 130-страничное руководство по программированию.

В целом это выглядело довольно паршивым подарком для маленького мальчика. Но его родители настояли на том, чтобы он попробовал это, не в последнюю очередь потому, что они только что купили вещь более чем за 129 фунтов стерлингов. Так он и сделал. И вот, по его словам, «меня затянуло в яму, из которой я никогда не смогу выбраться».

Нетрудно понять почему. Хотя это был 1983 год, и ORIC-1 обладал примерно такой же вычислительной мощностью, что и современный будильник, в этом было что-то странно привлекательное.Когда вы включили его, все, что вы увидели, было слово «Готово», а под ним мигающий курсор. Это было открытое приглашение: напечатайте что-нибудь, посмотрите, что получится.

Менее чем за час руководство ORIC-1 перешло от печати слова «привет» к написанию коротких программ на BASIC — универсальном символьном коде инструкций для начинающих, — которые воспроизводили цифровую музыку и рисовали на ней очень интересные картинки. экран. Когда у вас возникло желание попробовать что-то более сложное, руководство показало вам, как это сделать.

В каком-то смысле ORIC-1 был настолько завораживающим, потому что он урезал вычисления до их самой простой формы: вы вводили несколько инструкций; он сделал что-то классное. Это была основная раскрытая магия компьютера. Каким-то образом десять или двадцать строк кода превратились в формы и звуки; каким-то образом машина вдохнула жизнь в текстовый блок.

Неудивительно, что Колин подсел. ORIC-1 на самом деле был не игрушкой, а производителем игрушек. Все, что он просил, — это особый план.

После того, как он выучил язык, вскоре он начал писать свои собственные простые компьютерные игры, а вскоре после этого обучал себя тригонометрии, исчислению и механике Ньютона, чтобы сделать их лучше.Он научился моделировать гравитацию, трение и вязкость. Он научился наживать умных врагов.

Более того, он научился преподавать. Сам того не зная, Колин с первых дней работы с ORIC-1 и другими подобными микрокомпьютерами усвоил представление о том, как правильное сочетание доступности и сложности, ограничений и открытости может вывести студента от полного невежества до почти мастерства. быстрее, чем кто-либо — включая его учителей — считал возможным.

Это было ощущение, которое пригодилось годы спустя, когда он создал Project Euler, своеобразный веб-сайт, на котором обучались десятки тысяч новых программистов, и который по-своему скромно является эмблемой зарождающейся революции. в образовании.

* * *

Где-то между средней и старшей школой, в начале 2000-х, у меня возникло желание писать код. Это было очень похоже на импульс типа «обезьяна видит, обезьяна делает». Я много смотрел TechTV — малоизвестный, но очень любимый кабельный канал, посвященный компьютерам, гаджетам, играм и Интернету — и Hackers , культовую классику 1995 года с Анджелиной Джоли в главной роли, в которой подростковые компьютерные гении, обвиняемые в киберпреступления, которых они не совершали, должны прокладывать себе путь к истине.

Я хотел войти. Поэтому я сделал то, что можно было ожидать от чрезмерно восторженного придурка из пригорода, и попросил мою маму отвезти меня в торговый центр, чтобы купить 1181-страничный, 4,6-фунтовый Beginning Visual C ++ 6 Айвора Хортона. Я представил, как работаю с монтажом, как над книгой, плавно накапливая знания по одной главе за раз.

Вместо этого я сгорел через неделю. Сам текст был плотным и неулыбчивым; упражнения были трудными. Возможно, это было наименьшее удовольствие, которое у меня когда-либо было с книгой или, если на то пошло, с чем-либо вообще.Я уронил его так же быстро, как поднял.

Примечательно, что я прошел через этот цикл несколько раз: я видел, как люди программируют, и думал, что это выглядит круто, решил учиться, нашел книгу и разбился, как только она стала трудной.

Какое-то время я думал, что у меня недостаточно мозгов для программирования. Может, мне нужно было лучше разбираться в математике. Может, мне нужно было стать умнее.

Но оказывается, что люди, пытающиеся меня научить, просто плохо справлялись. Те книги, которые протащили меня через серию структурированных принципов, были просто плохими книгами.Я должен был их проигнорировать. Я должен был просто поиграть.

Никто не упускает этот факт более вопиюще, чем Совет американских колледжей, люди, ответственные за разработку учебной программы средней школы AP Computer Science. Учебная программа AP должна быть образцом того, как учить людей программировать. Вместо этого это пример того, как что-то действительно забавное можно превратить в безжизненную утомительную работу.

Я полагаю, что Совет колледжей подошел к проблеме сверху вниз. Я представляю себе группу людей, сидящих где-то в комнате и спрашивающих себя: «Что должны знать студенты к тому времени, когда они закончат этот курс?»; перечислил некоторые концепции, термины, отрывки кода и предварительные вопросы теста; организовал их в «модули», ряды изложения, за которыми следовали упражнения; затем передал готовый курс учителям, которым ничего не оставалось, кроме как следовать ему в буквальном смысле.

Каким бы ни был процесс, продукт представляет собой кошмар, красноречиво описанный Полом Локкартом, учителем математики в средней школе, в его небольшом буклете A Mathematician’s Lament о плачевном состоянии математики в средней школе. Его аргумент практически применим к компьютерному программированию.

Локхарт иллюстрирует болезнь нашей системы, представляя забавную задачу, а затем показывая, как ее могут решить преподаватели, пытающиеся «охватить» больше «материала».

Взгляните на это изображение:

Интересно задаться вопросом, сколько площади коробки занимает треугольник? Может, две трети? Найдите минутку и попытайтесь понять это.

Если у вас возникли проблемы, это может быть из-за того, что вы недостаточно хорошо обучены реальной математике, то есть решению открытых задач о простых формах и объектах. Это тяжелая работа. Но это также своего рода развлечение — это требует терпения, творчества, проницательности здесь и там. Это больше похоже на работу над головоломкой, чем на одно из утомительных упражнений в конце учебника.

Если вы будете бороться достаточно долго, вы можете придти к довольно умной идее разрезать свой прямоугольник на две части, например, так:

Теперь у вас есть два прямоугольника, каждый из которых разрезан по диагонали пополам с помощью ножки треугольника.Таким образом, внутри треугольника ровно столько же места, сколько снаружи, а это значит, что треугольник должен занимать ровно половину квадрата!

Так выглядит и ощущается математическое произведение. Этот небольшой рассказ является примером математического искусства: задавать простые и элегантные вопросы о наших воображаемых творениях и создавать удовлетворительные и красивые объяснения. На самом деле нет ничего лучше этого царства чистой идеи; это увлекательно, весело и бесплатно!

Но это не то, что математика чувствует в школе.Творческий процесс перевернут, искажен:

Вот почему так душераздирающе видеть, что делают с математикой в ​​школе. Это богатое и увлекательное приключение воображения было сведено к бесплодному набору «фактов», которые нужно запомнить, и процедур, которым нужно следовать. Вместо простого и естественного вопроса о формах, а также о творческом и полезном процессе изобретений и открытий учащимся предлагается такой:

«Площадь треугольника равна половине его основания, умноженному на его высоту.«Студентов просят запомнить эту формулу, а затем« применять »ее снова и снова в« упражнениях ». Ушли трепет, радость, даже боль и разочарование творческого акта. Больше нет даже проблемы. вопрос был задан и получил ответ одновременно — студенту нечего делать.

* * *

Моя борьба за то, чтобы стать хакером, наконец, стала прорывом в конце первого года обучения в колледже, когда я наткнулся на простой вопрос:

Если мы перечислим все натуральные числа ниже 10, которые кратны 3 или 5, мы получим 3, 5, 6 и 9.Сумма этих кратных равна 23.

Найдите сумму всех кратных 3 или 5 ниже 1000.

Это была загадка, которая превратила меня в программиста. Это была задача № 1 проекта Эйлера, написанная в 2001 году намного старше Колином Хьюзом, тем учеником ORIC-1, который впоследствии стал учителем математики в небольшой британской гимназии, а вскоре и невидимым профессором. десяткам тысяч птенцов вроде меня.

Сама проблема очень похожа на вопрос о треугольнике Локкарта — достаточно простой, чтобы заинтересовать самого свежего новичка, и достаточно сложный, чтобы потребовать некоторого размышления.

Что особенно замечательно в этом, так это то, что тот, кто никогда не программировал — тот, кто даже не знает, что такое программа — может научиться писать код, решающий эту проблему, менее чем за три часа. Я видел, как это случилось. Все, что нужно, — это немного голода. Вы просто должны захотеть получить ответ.

Это педагогическая игра: заставьте вашего ученика захотеть что-то выяснить. Все, что остается после этого, — это быть доступным для подсказок и вопросов. «Лучше всего учат тому ученику, о котором меньше всего говорят.

Это похоже на то, как если бы ребенок сидел у ORIC-1. Дети от природы любопытны. Им нравятся чистые доски: песочница, пакет LEGO. Как только вы покажете им немного того, на что способна машина, они начнут требовать они захотят узнать, как сделать этот круг немного меньше или как заставить песню идти немного быстрее. Они будут представлять себе игру в своей голове, а затем безжалостно бороться за ее создание.

Попутно, конечно, они начнут усваивать все концепции, которым вы хотели их научить.И эти концепции останутся неизменными, потому что они выучили их не на пустом месте, а для решения проблемы, которую они стремились решить.

Проект Euler, названный в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера, популярен (более 150 000 пользователей представили 2630 835 решений) именно потому, что Колин Хьюз, а позже и команда из восьми или девяти отобранных вручную помощников, создавали задачи, которых много людей не терпится решить. И это эффективный учитель, потому что эти проблемы организованы подобно программам в руководстве ORIC-1, в том, что Хьюз называет «индуктивной цепочкой»:

Проблемы различаются по сложности, и для многих это обучение по индуктивной цепочке.То есть, решив одну проблему, вы познакомитесь с новой концепцией, которая позволит вам взяться за ранее недоступную проблему. Таким образом, целеустремленный участник будет медленно, но верно решать каждую проблему.

Это идея, давно знакомая дизайнерам видеоигр, которые знают, что игрокам больше всего нравится, когда их всегда доводят до предела своих возможностей. Уловка состоит в том, чтобы создать лестницу, состоящую из более сложных уровней, каждый из которых строится на последнем. Новые навыки вводятся с помощью более простой версии испытания — быстрой демонстрации, которую сложно облажаться — и сертифицированы с помощью более сложной версии, идея состоит в том, чтобы позволить игрокам двигаться дальше только тогда, когда они показали, что они готовы.В результате кривая обучения постепенно увеличивается.

Project Euler отчасти привлекает внимание потому, что он настроен как видеоигра, с 340 забавными, очень тщательно упорядоченными задачами. У каждой есть своя страница, например, эта, которая просит вас открыть три самых популярных квадрата в игре «Монополия», в которую играют 4-сторонние (вместо 6-сторонние) кости. Внизу описания головоломки находится поле, в которое вы можете ввести свой ответ, обычно это целое число. Единственное «правило» — программа, которую вы используете для решения проблемы, не должна занимать больше одной минуты компьютерного времени.

Вдобавок к этому есть одна замечательная особенность: как только вы получите правильный ответ, вам будет предоставлен доступ к форуму, где успешные решатели делятся своими подходами. Это идеальное время для новых идей — после того, как вы сосредоточились на проблеме, достаточной для ее решения.

Вот почему многие опытные программисты используют Project Euler для изучения нового языка. Форум каждой проблемы — это своего рода Розеттский камень. Для одной простой проблемы вы можете найти аннотированные решения в Python, C, Assembler, BASIC, Ruby, Java, J и FORTRAN.

Даже если вы не программист, стоит решить проблему Project Euler, просто чтобы посмотреть, что происходит на этих форумах. Вы обнаружите то, о чем педагоги, технологи и журналисты говорили на протяжении десятилетий. И вот уже девять лет он спокойно процветает на этом сайте. Это глобальный распределенный класс, развивающее сообщество целеустремленных учеников — старых и молодых, из более чем двухсот стран — и все они разделяют удовольствие узнавать что-то новое.

* * *

Заманчиво обобщить: если программирование лучше всего изучать таким игривым, восходящим способом, то почему не все остальное? Может ли быть проект Эйлера по английскому языку или биологии?

Может быть. Но я думаю, это помогает понять, что программирование на самом деле является очень необычным занятием. Особенно выделяются две особенности.

Во-первых, это естественно вызывает привыкание. Компьютеры действительно быстрые; даже в 80-е они были очень быстрыми. Это означает, что между изменением программы и просмотром результатов почти нет времени.Этот короткий цикл обратной связи очень силен в умственном отношении. Каждые несколько минут вы получаете небольшую отдачу — возможно, небольшую дозу дофамина — когда вы взламываете и настраиваете, взламываете и настраиваете и видите, что ваша программа немного лучше, немного ближе к тому, что вы имели в виду.

Это важно, потому что обучение — это решение сложных проблем, а решение сложных проблем — это не сдаваться. Так что машина, которая вызывает многочасовые приступы безумного навязчивого возбуждения, — довольно изящный инструмент обучения.

Вторая особенность, напротив, на первый взгляд кажется совершенно несущественной. Это простой факт, что код — это текст.

Допустим, ваша раковина сломана, возможно, забита, и вы чувствуете себя смелым — вместо того, чтобы звонить сантехнику, вы решаете починить ее самостоятельно. Было бы неплохо, если бы вы могли сфотографировать свои трубы, подключить их к Google и мгновенно найти страницу, где пять или шесть человек подробно объяснили, как они справляются с той же проблемой. Было бы особенно хорошо, если бы, найдя понравившееся решение, можно было как-то сразу нанести его на свою раковину.

К сожалению, этого не произойдет. Вы не можете просто скопировать и вставить видео Боба Виллы, чтобы починить дверь гаража.

Но действительно безумно то, что программисты делают это весь день, и причина, по которой они могут это делать, заключается в том, что код — это текст.

Я думаю, это во многом объясняет, почему так много программистов самоучки. Делиться решениями проблем программирования легко, возможно, проще, чем делиться решениями для чего-либо еще, потому что средство обмена информацией — текст — является средством действия.Код — это собственное описание. Перевод не нужен.

Программисты пользуются этим фактом каждый день. Интернет изобилует кодом, потому что код — это текст, а текст дешев, переносим и доступен для поиска. Копирование приветствуется, но не осуждается. Программист-новичок никогда не должен учиться в одиночку.

* * *

Гарри Каспаров, шахматный гроссмейстер, которого, как известно, превзошел суперкомпьютер IBM Deep Blue, отмечает, как машины изменили способ обучения игре:

Было много непредвиденных последствий, как положительных, так и отрицательных, о быстром распространении мощного шахматного программного обеспечения.Дети любят компьютеры и относятся к ним естественно, поэтому неудивительно, что то же самое можно сказать и о сочетании шахмат и компьютеров. С появлением сверхмощного программного обеспечения у юноши появилась возможность иметь дома соперника высокого уровня, вместо того, чтобы с раннего возраста нуждаться в профессиональном тренере. Страны, в которых мало шахматных традиций и мало доступных тренеров, теперь могут производить вундеркиндов.

Теперь ученик может загрузить бесплатную программу, которая играет лучше, чем любой живой человек.Он может использовать его в качестве спарринг-партнера, тренера, энциклопедии важных игр и дебютов или высокотехнологичного аналитика отдельных позиций. Он может стать экспертом, даже не выходя из дома.

Довести эту мысль до логического конца. Представьте себе будущее, в котором лучший способ научиться что-то делать — писать прозу, решать дифференциальные уравнения, управлять самолетом — это загружать программное обеспечение, мало чем отличное от сегодняшних шахматных движков, которое берет вас с нуля. до шестидесяти по восхитительно захватывающей индуктивной цепочке.

Если идея кажется надуманной, предположим, что меня научила программировать программа, программист которой более двадцати пяти лет назад был обучен программированию с помощью программы.

Изображение: Creative Commons.

Компьютеры решают математическую задачу 90-летней давности: гипотеза Келлера

  • Последнее измерение гипотезы Келлера было доказано с помощью компьютерного алгоритма.
  • Гипотеза связана с тем, что гиперкубы разных измерений имеют общие стороны, когда они выложены плиткой.
  • Доказательство компьютеризировано и проверено другим компьютером, не поддается расшифровке людьми.

    Ученые обучили компьютерный алгоритм решить математическую задачу почти столетней давности всего за полчаса. Гипотеза Келлера, задача мозаики о том, как определенные фигуры мозаичны в определенных пространствах, была решена для всего, кроме семимерного пространства. Теперь грубая вычислительная мощность позволила ученым передать самую утомительную часть работы — с убедительными результатами, которые не могут быть подтверждены людьми.Давайте копаться.

    Вы любите числа. Мы любим числа. Давайте вместе поработаем над ними.

    Гипотеза Келлера звучит просто : «замощение n-мерного пространства n-мерными гиперкубами равного размера дает расположение, в котором по крайней мере два гиперкуба имеют общую (n-1) -мерную« сторону » . » Поэтому, когда ваши кубики Boggle размещаются в маленьких гнездах кубиков на доске Boggle, они выравниваются рядом друг с другом. Кирпичи в стене полностью соприкасаются по крайней мере с одной стороны.

    Но с большими размерами все усложняется. Термин гиперкуб включает в себя те же виды форм — «кубы» с перпендикулярными сторонами, но увеличенные до различных пространственных измерений, а это означает, что есть сложности, которые мы больше не можем сравнивать с кирпичной стеной или Boggle. Это становится беспорядочным, и его труднее рассуждать.

    «В 1986 году [математик] Сабо свел гипотезу Келлера к изучению периодических мозаик. Используя эту редукцию, [математики] Корради и Сабо ввели графы Келлера: у графа есть такие вершины, что пары смежны, если и только если они отличаются ровно на [одну величину] по крайней мере по одной координате, и они различаются по крайней мере по двум координатам, »Ученые пишут во введении .

    Это означает, что остающуюся проблему в семи измерениях можно решить с помощью того, что компьютерные ученые называют «грубой силой», что просто означает, что компьютер способен систематически обрабатывать все примеры, чтобы проверить их на достоверность. В данной размерности — это вершин, которые отличаются точно на одну величину, по крайней мере, с двумя другими, разными координатами? Соответствуют ли этому условию мозаичные семимерные гиперкубы?

    Разбиение плоскости квадратами, сдвинутыми так, чтобы каждый квадрат пересекал только два других от края до края.Гипотеза Келлера о замощении куба (верная на плоскости, но теперь известная как ложная для измерений больше восьми) утверждает, что при любом замощении пространства квадратами, кубами или многомерными гиперкубами некоторые плитки должны встречаться лицом к лицу. лицо.

    Дэвид Эппштейн / Creative Commons

    Математика звучит просто, но требует больших вычислительных ресурсов — термин, отражающий то, как компьютерная математика может экспоненциально увеличиваться, очень быстро, до такой степени, что это невозможно даже для мощного компьютера.Вспомните старую пословицу о складывании бумаги, которая быстро становится невозможной для обычного листа бумаги для принтера. После 10 сгибов толщина гипотетической бумаги превышает тысячу слоев. Теперь представьте, что каждая складка включает значения оси, скажем, от -10 до 10. Для этих значений 21 числовой линии более семи измерений координат имеют почти 2 миллиарда возможных комбинаций.

    Доказательство гипотезы размерами преподнесло сюрпризы, Quanta сообщает .Для размерностей с 1 по 6 математик Оскар Перрон доказал гипотезу в 1940 году. Но в 1990-х математики Джеффри Лагариас и Питер Шор доказали, что не соответствует в 10 измерениях. Природа более высоких измерений означает, что блестящие математики могут найти способы сократить необходимость вручную решать весь набор, например, потому что они могут доказать меньшую взаимосвязь, которая масштабируется до всей проблемы.

    Если у вас есть 10 шансов решить проблему, но вы решаете ее в первый раз, зачем вам нужно работать над остальными девятью шансами?

    Осталось всего семь из-за забавного совпадения в работе.«[A] После Лагариаса и Шора единственными неурегулированными измерениями были семь, восемь и девять. В 2002 году Макки доказал, что гипотеза Келлера неверна для измерения восемь (а значит, и для измерения девять) », — поясняет Quanta . «Осталось только седьмое измерение — либо наивысшее измерение, где гипотеза верна, либо на низшее измерение, где она не работает».

    Этот контент создается и поддерживается третьей стороной и импортируется на эту страницу, чтобы помочь пользователям указать свои адреса электронной почты.Вы можете найти больше информации об этом и подобном контенте на сайте piano.io.

    Математическая задача «7 мостов Кенигсберга» |

    Карта Мериан-Эрбен (1652 г.) в Википедии

    Математическая головоломка этого месяца восходит к 1735 году, когда ее впервые решил Леонард Эйлер, швейцарский математик и физик.

    Загадка называется «Семь мостов Кенигсберга». Он основан на реальном городе, тогда в Пруссии, ныне Калининграде в России.Город разделен рекой с двумя островами между ними, а ниже по течению река снова разделяет город.

    Проблема обманчиво проста: существует (или было во времена Эйлера) семь мостов, соединяющих два острова и части города, расположенные ниже по течению. Эйлер задавался вопросом, может ли человек пройти через каждый из семи мостов один раз и только один раз, чтобы коснуться каждой части города. Старт и окончание в одном месте не требовалось.

    Вот карта, которую вы можете использовать, чтобы попытаться решить проблему самостоятельно:

    Рисунок Эйлера мостов Кенигсберга

    Что, по вашему мнению, важнее для решения этой проблемы: количество мостов или расположение каждого моста?

    Ответ: количество мостов.

    Эйлер доказал, что количество мостов должно быть четным, например, шесть мостов вместо семи, если вы хотите пройти по каждому мосту один раз и добраться до каждой части Кенигсберга. Решение рассматривает каждый мост как конечную точку, вершину в математических терминах и соединения между каждым мостом (вершиной). Эйлер понимал, что только четное количество мостов дает правильный результат: можно коснуться каждой части города, не пересекая мост дважды.

    Эйлер с помощью математики доказал, что невозможно пересечь все семь мостов только один раз и посетить все части Кенигсберга.Поступая таким образом, он начал серию открытий и идей о том, как можно определить пространство и пересекающиеся пространства, а также об их свойствах. Подробное описание решения Эйлера можно найти по ссылке в Википедии под этой статьей.

    Если вы когда-нибудь видели, например, ленту Мебиуса, вы видели пример топологии, математическая область исследований возникла из решения этой проблемы Эйлером. Топология связана с пространством и тем, как вещи соединяются друг с другом, а также с непрерывностью и границами пространства.Топология также изучает, как свойства пространства меняются и не меняются, когда пространство расширяется или сжимается.

    В вычислениях топология полезна для понимания сетей (путей) данных, которые могут передаваться в любой системе, а также того, как наборы данных могут соотноситься друг с другом. Семь мостов Кенигсберга также похожи на другую распространенную вычислительную задачу, иногда называемую проблемой коммивояжера, когда вы пытаетесь найти наиболее эффективный маршрут с учетом набора ограничений, таких как семь мостов в задаче Эйлера.

    Не математики (вероятно, вы, определенно я) сталкиваемся с проблемой коммивояжера каждый раз, когда садимся в поезд или автобус. Задача коммивояжера — найти наиболее эффективный способ передвижения между парами городов на заданных расстояниях. Управление ограниченными ресурсами (поезда, автобусы), которые едут по конечным маршрутам, — идеальная проблема для решения вычислительной техники, поскольку компьютеры работают быстрее и эффективнее. Но сначала нам нужно, чтобы Эйлер и другие поставили задачу и определили решения с помощью математики.Затем мы программируем наши компьютеры на вычисления.

    Топология также имеет дело с теорией множеств, как группы вещей могут быть отсортированы в наборы для идентификации общих элементов с другими группами, а также уникальных элементов. Диаграмма Венна — отличный пример набора. И иногда программированию приходится сортировать данные по-разному. Какой метод сортировки лучше всего подходит для конкретной ситуации, можно определить с помощью теории множеств.

    А что случилось с семью мостами времен Эйлера? Двое не пережили Вторую мировую войну.Два моста были снесены и заменены одной автострадой. Из трех оставшихся мостов один был перестроен в 1935 году, а два других остались нетронутыми, какими их знал Эйлер. И, конечно же, Кенигсберг, Пруссия, изменил свое название на Калининград, Россия.

    Узнать больше

    Семь мостов Кенигсберга

    http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg
    http://mathforum.org/isaac/problems/bridges1.html
    http://www.contracosta.edu/legacycontent/math/konig .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.