Геометрические места точек в задачах на построение: Урок на тему «Решение задач на построение методом геометрических мест (Г.М.Т.)»

Исследовательский проект по геометрии «ГМТ в задачах на построение»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«СОШ п. Новопушкинское» Энгельсского муниципального района

Саратовской области

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ПРОЕКТ

ПО ГЕОМЕТРИИ

«Геометрическое место точек

 в задачах на построение»

Выполнили :ученики 7 класса

Кочанов Николай,

Непрокин Андрей.

Руководитель: учитель математики

Трунина Татьяна Николаевна

2018 год

        СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………………………………………….3

I. Теоретическая часть проекта………………………………………………………………………….4

        1.1 Многообразие геометрических мест точек…………………………………………..4

        1.2 Основные построения циркулем и линейкой……………………………………….6

        1. 3 Этапы решения задач на построение……………………………………………………6

        1.4 Сущность метода геометрических мест, который используется

                при решении задач на построение………………………………………………………..7

II. Практическая часть проекта. Задачи на построение……………………………………….7

III. Заключение………………………………………………………………………………………………..11

Использованная литература………………………………………………………………………………12

Введение

«Ум заключается не только в знании, но и в умении приложить знание на деле»

Аристотель

        Актуальность: В этом учебном году мы начали изучать предмет «Геометрия» и, по мнению многих наших одноклассников, он является одним из сложнейших школьных предметов. Мы так не считаем и хотим  разрушить стереотип, сложившийся у школьников.

        В пятом и шестом классах мы уже встречались с простейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки без делений: построение  треугольников  по трем элементам. В седьмом классе — задача усложнилась тем, что необходимо на плоскости найти точки, обладающие определенными свойствами. Так возникла тема исследовательского проекта  «Метод геометрических точек в задачах на построение».

        Целью которого стало: расширение знаний о применении геометрических мест точек в геометрии.

Актуальность данной работы определяется тем, что геометрическое место точек  — это геометрические понятия, знания которых имеют огромное значение для решения задач, в том числе и заданий единого государственного экзамена. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет мне найти новые подходы к решению геометрических задач.

Объект исследования: Геометрические места точек.

Предмет исследования: применение геометрических мест точек в задачах на построение.

Исследовательский метод определяется как самостоятельное решение проблемы с применением наблюдения, рассуждения, доказательства и анализ фактов в ходе решения геометрических задач.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования данного материала при решении геометрических задач, при доказательстве некоторых положений.

        

I. Теоретическая часть проекта.

1.1 Многообразие геометрических мест точек.

        Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

        Любое множество точек — это геометрическая фигура.

        В разных источниках дается различные определения Геометрического места точек

        Геометрическое место точек (ГМТ) — фигура речи в математике, употребляемая для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.

        Геометрическое место точек — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, имеющих указанную свойство. Для нахождения геометрического места точек, имеющих определенное свойство, необходимо доказать, что:

Если точка принадлежит фигуре, то она должна данное свойство, и
если точка плоскости имеет данное свойство, то она принадлежит фигуре.
        Основными геометрическими местами являются:

1.Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра ( на рис. показана одна из этих точек – А ).

  Окружность

2. Круг — это геометрическое место точек, удаленных от заданной точки на заданное расстояние.

3. Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

4. Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходит через его середину.

Расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d .

5.Геометрическим местом точек, удаленных от заданной прямой на заданное расстояние, есть две прямые, параллельные заданной прямой, находящиеся на указанном расстоянии от нее.

6.Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, прямая, параллельная заданной прямой, проходящей через середину их общего перпендикуляра.

7. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — биссектрисы углов, образованных этими прямыми.

а

в

8.Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, — дуги двух окружностей одинакового радиуса, у которых этот отрезок является хордой.

                                      А

                                             С              

                                      В

9. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, окружность, у которой данный отрезок является диаметром.

        

1.2 Основные построения циркулем и линейкой

        В школьном курсе геометрии мы изучаем ряд простейших построений циркулем и линейкой без деления:

— построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной или параллельной данной прямой,

— деление отрезка на несколько равных частей,

— деление пополам данного угла,

— построение угла, равного данному, причем одна из сторон является данным лучом.

        На основе стандартных построений легко осуществляется  построение треугольников по трем элементам:

— трем сторонам;

— стороне и двум углам;

— двум сторонам и углу.

1.3 Этапы решения задач на построение

        Что такое задачи на построение? В задачах о построение идет речь о построение фигуры с помощью данных чертежных инструментов: циркуля и линейки.

         С помощью линейки как инструмента можно построить произвольную прямую; прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять нельзя, в частности, нельзя откладывать отрезки данной длины.

        Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

        Решить задачу на построение — это значит провести анализ будущей фигуры, т.е. решить задачу с конца; составить план (алгоритм) построения фигуры; реализовать план, выполним построение; доказать, что полученная фигура является искомой; исследовать количество решений данной задачи.

Каждый этап решения имеет свои цели.

1.Анализ. Цель анализа заключается в отыскании такой связи между элементами искомой фигуры и данными задачи, которая помогла бы построить искомую фигуру.

2.Построение. Эта часть решения заключается в указании последовательности главных операций, которые необходимо выполнить для построения искомой фигуры.

3.Доказательство. Этот этап решения ставит своей целью показать, что

построенная вышеуказанным способом фигура удовлетворяет всем имеющимся в задаче условиям.

4.Исследование. Исследование полученного решения должно установить количество удовлетворяющих условию задачи фигур, т.е. необходимо определить, сколько решений имеет задача. Кроме того, необходимо выяснить, не имеются ли такие случаи, могущие возникнуть при определенном расположении элементов, их величине и т.д., когда требуемые построения невозможны. Надо установить, существует ли в этих случаях решение, и найти его, если таковое будет.

1.4 Сущность метода геометрических мест, который используется

при решении задач на построение

        Сущность метода геометрических мест, который используется при решении задач на построение, заключается в следующем:

        Если нужно найти точку, удовлетворяющую двум условиям, то находим геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, а после этого геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию. Искомая точка является точкой пересечения этих геометрических мест точек.

             II. Практическая часть проекта. Задачи на построение.

        Задачи, рассматриваемые в курсе геометрии 7 класса:

Задача  1.Постройте угол, равный данному, одна из сторон которого является данным лучом.

        Решение. Анализ: Дан угол А и луч ОК. Надо построить угол, равный углу А, одной из сторон которого является луч ОК.

                         В

                           С

        Проведём окружность произвольного радиуса  r с центром в точке А. Точки пересечения этой окружности со сторонами угла А обозначим В и С. Тогда АВ = АС = r.

        Построение: Проведём окружность радиуса r с центром в точке О. Она пресекает луч ОК в точке М. Затем проведём окружность с центром в точке М и радиусом ВС. Пусть Е и F ─ точки пересечения окружностей с центрами О и М. Проведём лучи ОЕ и ОF.                                                                                                                            

                                                                     

                                                                                        

        Доказательство :Покажем, что каждый из углов ЕОМ и FOM ─ искомый. Докажем, например, что ∠EOM = ∠BAC.

        Рассмотрим треугольники ABC и OEM Имеем: AB = OE= r = AC = OM. Кроме того, по построению EM= BC. Следовательно, треугольники ABC и OEM равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠EOM = ∠BAC. Аналогично можно показать, что ∠BAC =∠FOM. 

        Исследование:  Мы построили два угла EOM и FOM удовлетворяющие условию задачи. Эти углы равны. В таких случаях считают, что задача на построение имеет одно решение.

        Задача 2.Постройте серединный перпендикуляр данного отрезка.

        Решение. Анализ: Пусть AB ─ данный отрезок. Надо построить перпендикуляр, проходящий через середину отрезка.

        Построение: Проведём две окружности с центрами A и B и радиусом AB. Точки пересечения этих окружностей обозначим M и N. Проведём прямую MN.

        Доказательство: Из построения следует, что MA= MB = AB и NA =NB = AB. Следовательно, точки M и N принадлежат серединному перпендикуляру отрезка AB. Прямая MN и является серединным перпендикуляром отрезка AB.

        Исследование: Поскольку прямая MN пересекает отрезок AB в его середине, точке О, то тем самым решена задача.

        Задача 3. Даны прямая и не принадлежащая к ней точка. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

Решение. Пусть m ─ данная прямая, A─ не принадлежащая ей точка. Проведём окружность с центром в точке A так, чтобы она пересекла прямую m в двух точках. Обозначим эти точки M и N.

Поскольку AM = AN, то точка А принадлежит серединному перпендикуляру отрезка MN. Построив этот серединный перпендикуляр ( см. задачу 2), мы тем самым решим задачу.

        

Задача 4 .Даны прямая и принадлежащая ей точка. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

        

Решение. Пусть m ─ данная прямая, A ─ принадлежащая её точка. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке A. Она пересекает прямуюm в точках M и N.

        Поскольку AM = AN, то задача свелась к построению серединного перпендикуляра отрезка MN ( см. задачу 2).

        Задача 6. Постройте биссектрису данного угла.

Решение. Построение: Пусть A ─ данный угол. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке A. Эта окружность пересекает стороны угла в точках M и N. Тем же радиусом проведём окружности с центрами M и N. Эти окружности пересекаются в точках A и K. Проведём луч АК.

        Доказательство: Докажем, что луч АК ─ искомая биссектриса.

 Действительно, треугольники AMK и ANK равны по трём сторонам. Следовательно, ∠MAK = ∠NAK.

        Решим более сложную задачу.

        Задача 7. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание

Решение. Анализ.  Предположим, что задача решена, и построен равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС, в котором угол  ВАС =a и высота BD = отрезку h.

        В равнобедренном треугольнике высота BD, проведенная к основанию, является медианой, поэтому AD = DC. Значит, сначала необходимо построить прямоугольный треугольник ABD. Для этого строим угол А, равный углу a , затем нужно найти точку В, лежащую на одной из сторон угла на расстоянии h от другой стороны. Точку В можно получить как пересечение стороны угла и прямой, параллельной другой стороне и проходящей от нее на расстоянии h.

Построение: Проводим прямую l, выбираем точку А, на луче AN откладываем угол 1, равный данному углу a.

        Через точку А проводим прямую, перпендикулярную прямой AN , и на построенной прямой откладываем отрезок АМ = h. Через точку М проводим прямую, параллельную прямой AN, точку ее пересечения со стороной угла обозначаем В. Из точки В опускаем перпендикуляр BD на прямую AN  и откладываем DC = DA. Соединяем В и С.

Доказательство: Треугольник АВС — искомый, т.к. он удовлетворяет всем условиям задачи. Действительно, по построению МВ || AD, поэтому  1 =  2; по построению АМ  AD, МВ || AD, следовательно, АМ  МВ. В прямоугольных треугольниках ABD и ВАМ общая гипотенуза АВ и равные углы 1 и 2, эти треугольники равны, значит BD = AM, т. е. BD = h. Далее, по построению DC = DA, поэтому  ABD =  СВD (по двум катетам), откуда следует, что  С =  А = a и BD = h.

Исследование: В равнобедренном треугольнике угол при основании острый, поэтому построение возможно, если заданный угол острый.

Построение единственно, т.к. точка В находится единственным образом. Задача имеет только одно решение.

Заключение.

        Работая над проектом мы приобрели новые знания в геометрии, увидели необходимость применения этих знаний при решении задач на построение, рассмотрели ряд простейших задач на построение, на основе которых можно решить более сложные задачи, используя геометрические места точек; научились извлекать нужную информацию в интернете, работать с литературой, создавать чертежи и построения. Надеемся, что эти навыки пригодятся нам в дальнейшем при работе над следующими проектами.

Список литературы:

1. Мерзляк А.Г. Геометрия: 7 класс учебник для учащихся общеобразовательных организаций.

2.Никольская И. Л. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 классов.

3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии.

4. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика.

http://двойкам-нет.рф

http://schools.keldysh.ru

Геометрические места точек. Решение задач

Высшая математика / Практикум по аналитической геометрии

Задача № 1. Даны: точка D(4; 3) и окружность радиуса г= 1 с центром в точке С(2; 4).
Требуется найти такую точку М, чтобы длина касательной, проведенной из нее к окружности, была равна расстоянию точки М до точки D (рис.1).
Решение. Пусть искомая точка есть М (х, у) (рис.1).

Рис.1

Согласно условия MB=MD, где точка В есть точка касания прямой к окружности. Тогда треугольник МВС — прямоугольный, из которого находим, что MB
но МС²=(х-2)²+ (y-4)², а ВС=г=1.
Имеем

Расстояние точки М от точки D равно:

Имеем уравнение

Возводя в квадрат обе части уравнения, найдем

(х-2)²+(у-4)²-1=(у-3)².

После преобразования получим:

2х-у-3 = 0.

Следовательно, точек, удовлетворяющих заданному условию, будет бесчисленное множество. Они образуют прямую, уравнение которой найдено.
Задача № 2. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Оу и от точки F(4; 0).

Рис.2

Решение. Пусть точка М (х,у) лежит на искомом геометрическом месте точек (hbc.2). Тогда согласно условию задачи MF = MN,

В силу равенства MF = MN имеем:

или

x²-8x+16+y²=x²,

и окончательно

у² = 8х — 16.

Искомое геометрическое место точек есть парабола, симметричная относительно оси Ох и с фокусом в точке (4; 0).
Покажем, что координаты точки, не принадлежащей нашему геометрическому месту, т. е. параболе, не удовлетворяют найденному уравнению

у² = 8х — 16.

Предположим, что точка М (х, у) не принадлежит искомому геометрическому месту. Тогда либо MF>MN, либо MFMN. Тогда
После возведения в квадрат, раскрытия скобок и переноса всех членов влево, получим: у2—8х+16>0.
Следовательно, точка М (х, у) не удовлетворяет уравнению геометрического места

у² = 8х — 16.

Для случая MFЗадача № 3. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки А(4;0) остается вдвое меньше расстояния от точки В(-8; 0).
Решение. Пусть точка М(х,у) лежит на искомой траектории. Тогда, согласно условию 2МA = МВ.
Расстояние
расстояние
В силу равенства 2МА=МВ, имеем:

Возводим правую и левую часть равенства в квадрат, получаем

После преобразования получим

х² + y²- 16х = 0.

Искомая траектория точки М—окружность (рис.3)

Рис. 3

Тегигеометрические места точек на плоскостигеометрическое место точекнайти геометрическое место точекПоследнее обновление: 26.01.2015 Что искали со словом «геометрические места точек» — 3 416 показов в месяц Статистика по словам Показов в месяц геометрическое место точек 3 416 уравнение геометрическосоставить уравнение геометрического места точекуравнение геометрического места точек

Конструкция и места: определение и примеры

На латыни слово местонахождение определяется английским термином «местоположение». Когда мы думаем о слове locus , мы часто представляем объект, окруженный чем-то. Концепция геометрического места широко используется в планиметрии и может быть построена с помощью простого карандаша, линейки и циркуля. Чтобы легче погрузиться в эту тему, давайте начнем со следующего сценария, который даст нам представление о локусе.

Допустим, вы хотите построить забор вокруг своего дома. После сборки этого штакетника вы предлагаете построить его на расстоянии 6 футов от границы, окружающей ваш дом. Ниже приведен примерный план этой компоновки.

Пример 1, Айша Амри — StudySmarter Originals

Это пример локуса. Обратите внимание, как вы планировали построить частокол, окружающий ваш дом, точно в 6 футах от периметра вашего дома. Это стандартная мера, которую вы хотите выполнить в отношении этой границы.

Локус

Чтобы начать эту тему, давайте сначала установим определение локуса.

Геометрическое место представляет собой набор точек, удовлетворяющих определенному условию. Термин множественного числа для локуса называется локус .

В двух измерениях геометрическое место точек может быть представлено кривой или линией. Прежде чем мы углубимся в детали типов локусов и их конструкции, давайте также определим следующий термин.

Пусть A — точка, а B — набор объектов. Если А находится на равном расстоянии от В, то говорят, что А находится на равном расстоянии от В. Они перечислены ниже.

  1. Окружность (геометрическое место относительно точки).

  2. Форма колбаски (геометрическое место относительно отрезка).

  3. Биссектриса.

  4. Биссектриса угла.

Здесь мы сосредоточимся на двух элементах для каждого локуса, упомянутого выше. Во-первых, мы определим их характеристики, а во-вторых, научимся строить их шаг за шагом.

Круг

Круг Круг — это геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром .

Фиксированное расстояние от центра до каждой точки в наборе называется радиусом . Ниже приведено графическое представление этого определения.

Графическое изображение круга, Айша Амри — StudySmarter Originals

Построение

Чтобы построить это геометрическое место относительно точки или круга, вам понадобится циркуль, карандаш и линейка. Чтобы нарисовать эту форму, вам также потребуется длина радиуса.

Шаг 1: Откройте компас на расстояние радиуса.

Шаг 2: Поместите точку компаса в центр.

Шаг 3: Нарисуйте дугу вокруг центра, пока два конца не сойдутся.

Давайте рассмотрим пример, в котором применяется этот метод.

Для заданной точки A постройте геометрическое место всех точек, находящихся на расстоянии 2 см от A.

Решение

Обратите внимание, что радиус здесь равен 2 см. Следуя описанным выше шагам, мы обнаруживаем, что геометрическое место точек, которые находятся ровно в 2 см от точки A, должно выглядеть так, как показано на диаграмме ниже.

Пример 2, Айша Амри — StudySmarter Originals

Форма колбасы

Геометрическое место точек, равноудаленных от сегмента прямой, создает форму колбасы . Мы можем думать об этом типе локуса как о дорожке, окружающей отрезок прямой.

Ниже приведено графическое представление этого определения.

Графическое изображение формы сосиски, Айша Амри — StudySmarter Originals

Построение

Чтобы построить это геометрическое место отрезка или формы сосиски, вам понадобится циркуль, карандаш и линейка.

Шаг 1: Дан отрезок длины x единиц, отметьте две конечные точки как A и B.

Шаг 2: Откройте компас на основе необходимой меры, данной для формирования этого геометрического места. Нарисуйте дугу из каждой конечной точки A и B. Убедитесь, что эта маркировка образует кривую (как показано ниже), которая хорошо видна.

Шаг 3: Нарисуйте несколько дуг (как показано ниже) из любой точки на отрезке с заданным геометрическим размером. Вы должны сделать это как для верхней, так и для нижней части сегмента линии.

Шаг 4: Используйте линейку, чтобы соединить самые верхние точки каждой из ваших дуг.

Шаг 5: Приведя в порядок свое место, вы увидите, что оно образует структуру, похожую на колбасу.

Давайте рассмотрим пример, использующий эту технику.

Нарисуйте линию АВ длиной 6 см. Постройте геометрическое место всех точек, находящихся на расстоянии 3 см от АВ.

Solution

Начнем с построения линии AB длиной 6 см. Теперь, следуя описанным выше шагам, мы обнаруживаем, что геометрическое место точек, которые находятся ровно в 3 см от AB, должно выглядеть так, как показано на рисунке ниже. Не забывайте всегда держать компас открытым на 3 см, когда вы строите это геометрическое место.

Пример 3, Айша Амри — StudySmarter Originals

Биссектриса

Биссектриса — это геометрическое место точек, равноудаленных от двух фиксированных точек. Серединный перпендикуляр делит отрезок, образованный этими двумя фиксированными точками, на два равных меньших отрезка, как предполагает слово биссектриса .

На приведенном ниже рисунке показан серединный перпендикуляр.

Графическое изображение биссектрисы Айши Амри — StudySmarter Originals

Две фиксированные точки представлены X и Y. Прямая OM является серединным перпендикуляром к отрезку XY. Точки A, B, C и M лежат на серединном перпендикуляре и равноудалены от X и Y. Таким образом, XM = YM, XA = YA, XB = YB и XC = YC. Кроме того, OM перпендикулярен XY.

Построение

Для построения серединного перпендикуляра вам также понадобятся циркуль, карандаш и линейка.

Шаг 1: Имея две точки A и B, нарисуйте отрезок, соединяющий эти точки.

Шаг 2: Откройте компас более чем на половину отрезка линии AB. Взяв A за центр, нарисуйте дуги выше и ниже отрезка.

Шаг 3: Повторите шаг 2, на этот раз взяв B в качестве центра. Обозначьте точки пересечения как X и Y. Здесь AX = BX и AY = BY.

Шаг 4: Соедините точки X и Y. Прямая XY является серединным перпендикуляром к AB.

Ниже приведен пример использования этой техники.

Получив прямоугольник ABCD, показанный ниже, нарисуйте линию, которая делит сторону CD на две равные половины.

Пример 4 (1), Айша Амри — StudySmarter Originals

Решение

Нам говорят разрезать боковой компакт-диск на две равные половины. Это говорит о том, что нам нужно найти серединный перпендикуляр к прямой CD. Следуя описанным выше шагам, мы находим, что биссектриса CD делит эту сторону (размером 7 см) на две равные части по 3,5 см каждая.

Пример 4 (2), Айша Амри — StudySmarter Originals

Биссектриса угла

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Как и прежде, термин биссектриса означает деление объекта на две равные части. Таким образом, биссектриса угла дает прямую, которая делит угол на две равные части.

Иллюстрация ниже дает нам лучшее представление о биссектрисе угла.

Графическое изображение биссектрисы угла, Айша Амри — StudySmarter Originals

Две фиксированные линии представлены отрезками AC и BC. Прямая CD является биссектрисой угла. Биссектриса угла делит пополам угол C на две равные части, а именно: угол ACD и угол BCD. Точка D равноудалена от обеих прямых AC и BC. Таким образом, AD = BD. Кроме того, AD перпендикулярен AC, а BD перпендикулярен BC.

Построение

Чтобы построить биссектрису угла, вам понадобятся циркуль, карандаш и линейка.

Шаг 1: Даны две прямые OA и OB, возьмем O за центр и проведем две дуги так, чтобы они пересекали OA и OB в точках X и Y соответственно. Размах компаса должен быть меньше, чем расстояние от ОА до ОВ. Здесь ОХ = ОУ.

Шаг 2: Не регулируя расстояние между сторонами компаса, постройте две дуги с центрами X и Y так, чтобы эти две дуги пересекались в точке P. Здесь XP = YP.

Шаг 3: Соедините точки OP. Линия OP является биссектрисой угла O. Здесь AP = BP, а угол O делится пополам на две равные части: угол AOP и угол BOP.

Ниже приведен пример, в котором применяется этот метод.

Учитывая приведенный ниже равносторонний треугольник ABC, постройте биссектрису угла для каждой вершины и определите точку, в которой пересекаются все три биссектрисы угла.

Пример 5 (1), Айша Амри — StudySmarter Originals

Решение

В этом случае нам нужно построить биссектрису угла для каждой вершины и продолжить линию так, чтобы мы могли видеть, где эти линии пересекаются внутри треугольника . Применяя шаги, описанные выше, для каждого угла этого треугольника, мы обнаруживаем, что точка, в которой все три биссектрисы пересекаются внутри треугольника, должна выглядеть, как на рисунке ниже. Эта точка обозначена P.

Пример 5(2), Айша Амри — StudySmarter Originals

Примечание : угол каждой вершины равностороннего треугольника равен 60 o . Таким образом, построение биссектрисы угла разделит этот угол на два равных угла размером 30 90 269 o 90 270 каждый.

Пример из реальной жизни

Мы закончим эту тему реальной проблемой построения локусов.

Лодка отплывает так, что всегда находится на одном и том же расстоянии от порта P и маяка L. Порт и маяк находятся на расстоянии 4 км друг от друга. Нарисуйте масштабную диаграмму, показывающую расстояние между портом и маяком. Затем постройте возможный путь этой лодки на схеме. Используйте масштаб 1 км: 1 см.

Сначала нарисуем отрезок PL. Это представляет собой расстояние между портом и маяком.

Пример 6 (1), Айша Амри — StudySmarter Originals

Чтобы построить возможный путь для лодки, нам нужно создать биссектрису между портом и маяком. Это показано ниже.

Пример 6 (2), Айша Амри — StudySmarter Originals

Точка, в которой пересекаются две дуги, — это точка, в которой лодка находится на равном расстоянии от порта и маяка. Мы назовем эту точку R. Соедините точку P с точкой R. Проделайте то же самое с точками L и R. Лодка будет двигаться по треугольной траектории от порта к этой точке и к маяку. На это указывают красные стрелки. Это показано на схеме ниже.

Обратите внимание, что любая точка на биссектрисе дает вам возможный путь для лодки, поскольку по определению любая точка на этом биссектрисе равноудалена от точек P и R.

Пример 6 (3), Айша Амри — StudySmarter Originals

Построение и локусы — ключевые выводы

  • Геометрическое место — это набор точек, которые подчиняются определенному правилу и описываются кривой или линией.

  • Для построения любого локуса вам понадобятся карандаш, линейка и циркуль.

  • Типы локусов
    Наименование локусов Описание
    Круг Locus of Points, которые равны SAUSAGE с точки
    .
    Биссектриса Геометрическое место точек, равноудаленных от двух точек
    Биссектриса угла Геометрическое место точек, равноудаленных от двух прямых

Локусы и строительные листы | Вопросы и редакция

GCSE 4 — 5KS3AQAEdexcelOCRWJECOCR ноябрь 2022WJEC ноябрь 2022Foundation

Локусы

Локус ( локусов — множественное число) представляет собой набор точек, которые имеют общее свойство.

Окружность круга — это геометрическое место всех точек в 2D, которые находятся на одинаковом расстоянии от определенной точки — центра.

Пример: Нарисуйте геометрическое место всех точек на расстоянии 1 см от линии AB

– Сначала установите циркуль на 1 см и начертите полукруг вокруг точки A

– Затем оставив циркуль на том же уровне размер , повторите для точки B

– Наконец, с помощью линейки соедините два круга.

Все эти этапы показаны на схеме красным цветом .

Мы видим, что каждая точка на красной линии находится ровно в 1 см от линии AB.

Уровень 4-5GCSE

Построение биссектрисы

Второе построение представляет собой биссектрису прямой.

Пример: Биссектриса AB показана ниже.

(или можно попросить, проведите линию, равноудаленную от точек A и B, метод будет точно таким же. )

Для этого вы должны сделать следующее:

фиксированная длина друг от друга ( Должна быть больше половины линии ).

– Поместите циркуль в точку А и нарисуйте дугу ( синий ).

— Используя циркуль на той же длины , повторите предыдущий шаг для другого конца линии (также синий ).

– Затем нарисуйте линию, проходящую через две точки пересечения. Эта линия ( красный ) является серединным перпендикуляром.

Уровень 4-5
GCSE

Перпендикулярная линия из точки

Третье построение — перпендикулярная линия из точки .

На диаграмме нам даны отрезок и точка (обе черные).

Пример: Постройте перпендикулярную линию из точки C к линии AB.

— Поместите свой циркуль в точку C (пара циркуля  должна быть установлена ​​больше, чем на половину длины линии ) и нарисуйте дугу окружности, которая дважды проходит через линию ( синий ).

– Поместите циркуль на точку пересечения ( зеленый крестик ) и нарисуйте небольшую дугу на противоположной стороне линии от точки ( зеленый ).

— Используя циркуль на той же длины , повторите предыдущий шаг для другой точки пересечения (другой зеленый крест ).

– Нарисуйте линию, проходящую через исходную точку и точку пересечения двух последних дуг.

Эта линия ( красная ) является перпендикулярной линией из точки.

Уровень 4-5
GCSE

Разделение угла пополам

Четвертая конструкция представляет собой биссектрису угла . Это позволяет нам точно разделить заданный угол пополам.

Пример: Построить линию, равноудаленную от линий AB и BC.

На диаграмме нам даны две линии (черные) и угол между ними. Чтобы разделить его пополам, мы делаем следующее:

— Поместите циркуль в угол, где встречаются две линии, и нарисуйте дугу ( синий ), которая проходит через обе линии.

— Поместите циркуль на две точки пересечения арки синего цвета и нарисуйте небольшую дугу, показанную синим цветом .

— Используя циркуль на той же длине , повторите предыдущий шаг с другой точки пересечения.

— Нарисуйте линию ( красный ), проходящую через угол, где пересекаются линии, и точку, где пересекаются две синие дуги. Это биссектриса угла.

Уровень 4-5
GCSE

Пример: Локусы и конструкция

Точки A и B лежат на одной прямой.

Заштрихуйте геометрическое место точек, которые ближе к точке A, чем к точке B, но менее чем на 4 см от точки B. чем точка B“ . Это означает, что все точки слева от линии находятся на полпути между A и B. Это означает, что нам нужно провести перпендикулярную биссектрису .

Следуя шагам, описанным выше, мы получаем серединный перпендикуляр к прямой AB, показанный цифрой 9. 0019 красная линия .

Далее нам нужно найти множество точек, которые находятся менее чем в 4 см от B, для этого мы используем геометрическое место точек вокруг точки .

Выставляем наш циркуль на длину 4 см, затем, поставив иглу на В, рисуем наш круг.

Наконец, заштриховываем все точки за оранжевой линией, но ближе 4 см от B.

Это видно зеленым на схеме.

Уровень 4-5
GCSE

Пример вопросов

Итак, мы помещаем циркуль в точку B и рисуем дугу, проходящую через обе линии.

 

Затем, помещая циркуль в каждую из точек пересечения первой дуги, мы рисуем две маленькие дуги, лежащие между линиями AB и BC.

 

Прямая, проходящая через угол в точке B и точку пересечения двух последних дуг, является биссектрисой угла, которая является геометрическим местом точек, равноудаленных от AB и BC. Правильное изображение должно выглядеть так, как показано ниже (вспомогательные линии показаны синим цветом, геометрическое место — красным):

Во-первых, геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 1 см непосредственно над линией, представляет собой другую линию, расположенную на расстоянии 1 см от этой линии и параллельную ей. То же самое касается локуса непосредственно под линией.

Ответ:

 

Итак, чтобы фонтан находился не менее чем в 3 м от его дома вдоль CD, нам нужно только рассмотреть площадь слева от прямой, параллельной CD и на расстоянии 3 см от него.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *